Matura z matematyki - ~Funkcja wykładnicza i jej własności

Funkcja wykładnicza

DEFINICJA

Funkcja wykładnicza jest to funkcja określona wzorem $f (x) = a x$ dla $a > 0$ i $a neq 1$ .

Przykładem funkcji wykładniczej może być:

$y = 2 x$
$y=left(2frac{1}{2}right)^x$
$y = 10 2 x$ , co jest równoznaczne $y = (10 2) x = 100 x$

Wykres i własności

Patrząc na funkcję $y = 2 x$ i $y=left(frac{1}{2}right)^x$ (kolor czerwony) wydaje nam się, że są one symetryczne względem osi OY. Podobnie jest z funkcjami $y = 3 x$ i $y=left(frac{1}{3}right)^x$ (kolor granatowy), a także $y=left(frac{3}{2}right)^x$ i $y=left(frac{2}{3}right)^x$ (kolor zielony). Możemy przypuszczać, że wykresy $f (x) = a x$ , a także $g(x)=left(frac{1}{a}right)^x$ są symetryczne względem osi OY i rzeczywiście tak jest: $f(x)=a^x=(a^{-1})^{-x}=left(frac{1}{a}right)^{-x}=g(-x)$ .

Własności:

$D = R$
$Z W = R +$ , czyli $a x > 0$
Wykres funkcji $y = a x$ jest symetryczny względem osi OY do wykresu funkcji $y=left(frac{1}{a}right)^x$
Funkcja nie posiada miejsc zerowych
Funkcja przecina oś OY w punkcie $(0;1)$ , ponieważ $forall_{a neq 0} a^0 = 1$
Funkcja jest różnowartościowa
Dla $a in (1; +infty)$ funkcja jest rosnąca
Dla $a in (0; 1)$ funkcja jest malejąca