Matura z matematyki - ~Ciąg arytmetyczny

Ciąg arytmetyczny

Spójrzmy na kilka przykładów ciągów arytmetycznych:

$(a_n) = (1, 2, 3, 4, 5, 6, dots)$
$(b_n) = (2, 4, 6, 8, 10, dots)$
$(c_n) = (3, 13, 23, 33, 43, dots)$
$(d_n) = (15, 10, 5, 0, -5, -10, -15, dots)$

Czy widzimy pewne podobieństwo? Każde z kolejnych wyrazów ciągu różnią się o pewną stałą liczbę np. w ciągu $(c n)$ o 10. W $(a n)$ już prawie widzimy, że po 6 będzie 7, a po 7 będzie 8 itd.

DEFINICJA

Ciąg (co najmniej trzy wyrazowy), w którym różnica dwóch kolejnych wyrazów jest stała nazywamy ciągiem arytmetycznym.

Ciąg musi mieć przynajmniej trzy wyrazy żeby można było stwierdzić w jaki sposób powstają kolejne wyrazy.

Czy $(a n) = (1,3,5,7,10,12,...)$ będzie ciągiem arytmetycznym? Nie, ponieważ $a 2 - a 1 = 3 - 1 = 2$ i $a 5 - a 4 = 10 - 7 = 3$ , zatem różnica dwóch kolejnych wyrazów nie jest stała.

Ponieważ w ciągu arytmetycznym kolejne wyrazy różnią się o pewną stałą liczbę, więc przyjmując, że $a n + 1$ to pewien wyraz, $a n$ to wyraz go poprzedzający, możemy powiedzieć, że różnica $a n + 1 - a n$ będzie stała dla każdego n. Tę różnicę oznaczymy jako r. Napiszemy:

r = a n + 1 - a n

(różnica ciągu)

Przyjmuje się, że ciąg arytmetyczny musi liczyć co najmniej trzy wyrazy.

Wzór ogólny

Powróćmy do ciągu $(c_n) = (3, 13, 23, 33, 43, dots)$ . Chcielibyśmy znaleźć dla niego wzór na n-ty wyraz. Hmm... co możemy o nim powiedzieć? Pierwszy wyraz $c 1 = 3$ , a różnica ciągu wynosi $r = 23 - 13 = 10$ . Ponieważ $r = c 2 - c 1 = 10$ , więc $c 2 = c 1 + 10$ , podobnie $c_3 - c_2 = 10 implies c_3 = c_2 + 10$ , $c_4 - c_3 = 10 implies c_4 = c_3 + 10$ itd. Więc zrobimy tak:

c 1 = 3

c 2 = c 1 + 10 = 3 + 10

$c_3 = c_2 + 10 = (3 + 10) + 10 = 3 + 2 cdot 10$

$c_4 = c_3 + 10 = (3 + 2 cdot 10) + 10 = 3 + 3 cdot 10$

$c_5 = c_4 + 10 = (3 + 3 cdot 10) + 10 = 3 + 4 cdot 10$

$c_6 = c_5 + 10 = (3 + 4 cdot 10) + 10 = 3 + 5 cdot 10$

...

Widzimy to? Każdy wyraz jest postać 3 + ileś · 10, a to ileś dla 6 wynosi 5, dla 4 wynosi 3, dla 2 wynosi 1. Aha, czyli jest to po prostu n-1 dla n-tego wyrazu. Otrzymujemy wzór $c_n = 3 + (n-1) cdot 10$ .

Uogólnijmy ten wzór dla dowolnego ciągu $(a n)$ , gdzie wiemy ile wynosi $a 1$ i znamy różnicę ciągu $r$ . Czyli:

a 1

jest dane

a 2 = a 1 + r

a 3 = a 2 + r = (a 1 + r) + r = a 1 + 2 r

a 4 = a 3 + r = (a 1 + 2 r) + r = a 1 + 3 r

...

Prawie to samo... Czyli widzimy, że:

a n = a 1 + (n - 1) r

(wzór ogólny ciągu arytmetycznego)

Wiemy, że $a n - 1 = a 1 + (n - 2) r$ oraz $a n + 1 = a 1 + n r$ . Jeśli zsumujemy n-1 i n+1 wyraz, otrzymamy: $a 1 + n r + a 1 + (n - 2) r = 2 a 1 + n r + n r - 2 r = 2 a 1 + 2 n r - 2 r$ Wyłączając dwójkę przed nawias otrzymujemy: $2(a 1 + n r - r) = 2(a 1 + r [n - 1]) = 2 a n$

Wynika z tego, że dla każdego ciągu arytmetycznego $(a n)$ zachodzi:

$a_n = frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} mbox{ dla } n in mathbb{N}_+ backslash {1}$

Ale także jeśli n-ty wyraz ciągu jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i następnego to ciąg ten jest arytmetyczny.

O monotoniczności ciągu arytmetycznego możemy powiedzieć, że:

ciąg jest rosnący, gdy różnica $r > 0$ ,
ciąg jest stały, gdy różnica $r = 0$ ,
ciąg jest malejący, gdy różnica $r < 0$ .

Łatwo jest to udowodnić. Przykładowo pokażmy, że dla $r > 0$ ciąg jest rosnący. Przypomnijmy co to znaczy, że ciąg (czyli funkcja) jest rosnący:

DEFINICJA

(a_n) jest rosnący wtedy i tylko wtedy gdy: $forall_{{b, c} in N} b < c Leftrightarrow a_b < a_c$

Załóżmy więc, że $r > 0$ oraz: $b < c$ , zbadajmy różnicę $a b - a c$ : $a b - a c = a 1 + (b - 1) r - (a 1 + [c - 1] r) = a 1 + b r - r - a 1 - c r + r = b r - c r = r (b - c)$ Z założenia różnica r ciągu jest dodatnia, różnica b-c też jest dodatnia. Zatem różnica $a b - a c > 0$ , co oznacza, że ciąg jest rosnący.