Monotoniczność ciągu

Podobnie jak dla funkcji tak i dla ciągu możemy zdefiniować monotoniczność. Zobaczmy na ciąg:

(a_n) = (5,10,30,50,90,100,1000,10000)

Domyślamy się, że ciąg ten jest rosnący, ponieważ liczby w ciągu są coraz większe, czyli . W ogólności n-ty wyraz jest mniejszy od następnego, czyli a_n < a_{n + 1}, a to możemy zapisać jako:

a_{n + 1} − a_n > 0

(ciąg rosnący)

Podobnie ciąg:

będzie malejący, ponieważ . W tym przypadku dla n-tego wyrazu będziemy mieli a_n > a_{n + 1}, czyli:

a_{n + 1} − a_n < 0

(ciąg malejący)

Zobaczmy na kolejny przykład:

.

ciąg ten prawie rośnie, ale jednak nie rośnie, ponieważ np. c₂ = c₃ = 2. Ciąg ten jest niemalejący, w którym zachodzi:

(ciąg niemalejący)

Skoro ciąg może być niemalejący, to pewnie i może być nierosnący. Stwórzmy do niego odpowiedni przykład:

Już wiemy, że ciąg ten jest niemalejący, ale jeszcze nie wiemy, że zachodzi:

(ciąg nierosnący)

Spójrzmy na teraz na ten ciąg:

Co to za dziwadło? Ani to nie rośnie, ani nie maleje, ani nie wiadomo co. Raczej ciężko będzie się w nim doszukać jakiejś monotoniczności. O takim czymś mówimy, że jest ciągiem niemonotonicznym.