Matura z matematyki - ~ Wartość bezwzględna liczby

DEFINICJA

Wartość bezwzględną liczby jest określona wzorem:
$|x|=left{begin{matrix} x, & mbox{ dla } x geq 0 -x, & mbox{ dla } x<0 end{matrix} right.$ .

Wartość bezwzględna liczby nazywana jest także czasami modułem lub wartością absolutną liczby.

Zobaczmy kilka przykładów:

$| 4 | = 4$
$| - 5 | = 5$
$| 30 - 40 | = | - 10 | = 10$
$| 4 - 3 | = | 1 | = 1$
$| 3 - π | = π - 3$

Własności

Dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y zachodzą poniższe własności:

$|x| geq 0$
$| x | = | - x |$
$|x| = sqrt{x^2}$
$|x cdot y|=|x| cdot |y|$
$left|frac{x}{y}right|=frac{|x|}{|y|},~y neq 0$
$| x - y | = | y - x |$

Interpretacja geometryczna

Wartość bezwzględną liczby można interpretować jako odległość współrzędnej tego punktu od punktu zerowego:

Rozwiązywanie równań z wartością bezwzględną

Przy rozwiązywaniu równania można wykorzystać własność:

$|x|=a iff (x=a or x=-a)$

Przykład 1. W przypadku równań z jedną wartością bezwzględną można posłużyć się tylko definicją, np.:

$| x + 4 | = 2$

$x+4=2 or x+4=-2$

$x=-2 or x=-6$

Przykład 2. Jeżeli wartości bezwzględnych jest więcej, równanie liczy się inną metodą. Oto przykładowe równanie:

$| x + 4 | + | x - 2 | = 6$

Tutaj również należy posłużyć się definicją. Pierwsze wyrażenie objęte wartościa bezwzględną jest ujemne w przedziale $(-infty; -4)$ i dodatnie w przedziale $(-4; +infty)$ . Natomiast drugie wyrażenie jest ujemne w przedziale $(-infty; 2)$ i dodatnie w przedziale $(2; +infty)$ . Dostajemy więc trzy przedziały, które należy rozpatrzeć (jeśli tego nie widzimy od razu, warto rozrysować sobie cztery wcześniejsze zbiory na osi liczbowej i zobaczyć, jaką pozycję względem siebie zajmują):

$(-infty; -4)$ gdzie oba wyrażenia są ujemne
$( - 4;2)$ gdzie pierwsze jest dodatnie a drugie ujemne
$(2; +infty)$ gdzie oba wyrażenia są dodatnie

W przypadku pierwszej wartości bezwzględnej, jeżeli $x < ( - 4)$ trzeba będzie zmienić w niej znaki występujące przy liczbach, gdyż musi ona być dodatnia. Tą metodą tworzy się przedziały. I teraz należy wyliczyć równanie do każdego z przedziałów.

$x in (-infty; -4)$

W tym przypadku zmienią się znaki dla każdej wartości bezwzględnej:

$- x - 4 - x + 2 = 6$

$x = - 4$

Liczba ta nie należy do przedziału, więc w przedziale $x in (-infty; -4)$ równanie nie ma rozwiązań.

$x in [-4; 2)$

$x + 4 - x + 2 = 6$

$6 = 6$

Tożsamość. Oznacza to, że w przedziale $x in [-4; 2)$ każda liczba spełnia równanie.

$x in [2; infty)$

$x + 4 + x - 2 = 6$

$x = 2$

Liczba należy do przedziału, czyli x=2 jest rozwiązaniem równania.

Podsumowując wcześniejsze wyliczenia należy podsumować, że:

$x in [-4; 2]$

Przykład 3.

$| x + 4 | - | 2 x + 3 | + 3 | x - 1 | = 7$

Najprostszą metodą wyznaczania przedziałów jest wyobrażenie sobie liczb pod modułem jako miejsc zerowych funkcji liniowych.

$x+4=0 implies x=-4$

$2x+3=0 implies x=-{3 over 2}$

$x-1=0 implies x=1$

W ten sposób wyznaczone zostały przedziały, więc teraz wystarczy już tylko wykonać obliczenia.

$x in (-infty; -4)$

$- x - 4 + 2 x + 3 - 3 x + 3 = 7$

$x=-{5 over 2}$

W tym przedziale nie ma rozwiązań.

$x in left[-4; -{3 over 2}right)$

$x + 4 + 2 x + 3 - 3 x + 3 = 7$

$10 = 7$

Sprzeczność. W tym przedziale także nie ma rozwiązań.

$x in left[-{3 over 2} ; 1right)$

$x + 4 - 2 x - 3 - 3 x + 3 = 7$

$x=-{3 over 4}$

Ta liczba należy do przedziału, więc jest rozwiązaniem równania.

$x in [1 ; infty)$

$x + 4 - 2 x - 3 + 3 x - 3 = 7$

$x={9 over 2}$

Ta liczba należy do przedziału więc jest rozwiązaniem równania.

Podsumowując:

$x in left{-{3 over 4} ; {9 over 2}right}$

To samo można zapisać w postaci:

$x=-{3 over 4} or x={9 over 2}$

Rozwiązywanie nierówności z wartością bezwzględną

Przy rozwiązywaniu nierówności można wykorzystać poniższe własności:

$|x| < a iff -a < x < a iff (x>-a and x<a)$
$|x| leq a iff -a leq x leq a iff (x geq -a and x leq a)$
$|x| > a iff (x < -a or x > a)$
$|x| geq a iff (x leq -a or x geq a)$

W przypadku niektórych nierówności możemy posłużyć się którąś z powyższych własności np.:

Przykład 4. Rozwiążmy równanie $|x+5| leq 10$ wykorzystując własność $|x| leq a iff (x geq -a and x leq a)$ , gdzie zamiast x postawiamy x+5, a zamiast a liczbę 10 otrzymujemy:

$|x+5| leq 10 iff (x+5 geq -10 and x+5 leq 10)$

$(x geq -15 and x leq 5$

Odp. $x in [-15;5]$ .