Matura z matematyki - ~ Wzory Viete'a

Wzory Viete'a

TWIERDZENIE

Jeżeli równanie kwadratowe $a x 2 + b x + c = 0$ $(a neq 0)$ ma rozwiązania $x_{1}, x_{2}$ , to:
$x_{1} + x_{2} = -frac{b}{a}$

$x_{1} cdot x_{2} = frac{c}{a}$

Dowód

$frac{-b-sqrt{Delta}}{2a} + frac{-b+sqrt{Delta}}{2a} = frac{-b-sqrt{Delta} - b + sqrt{Delta}}{2a} = frac{-2b}{2a} = -frac{b}{a}$

$frac{-b-sqrt{Delta}}{2a} cdot frac{-b+sqrt{Delta}}{2a} = frac{(-b-sqrt{Delta})cdot(-b+sqrt{Delta})}{4a^2} = frac{b^2-Delta}{4a^2} = frac{b^2 - (b^2-4ac)}{4a^2} = frac{4ac}{4a^2} = frac{c}{a}$

Wzory Viete'a są nieodłączną częścią równań i nierówności z parametrem. Tutaj jednak skupimy się na ich innym zastosowaniu.

Przykład 1. Nie rozwiązując równania odgadnij miejsca zerowe funkcji $y = x 2 + 5 x + 6$

Wzory Viete'a stanowią pewne ułatwienie w wyszukiwaniu pierwiastków. Podstawmy wartości a,b,c do wzorów:

$x_{1} + x_{2} = frac{-5}{1} = -5$

$x_{1} cdot x_{2} = frac{6}{1} = 6$

Teraz zadajemy sobie pytanie: "Sumą jakich liczb jest liczba -5, a iloczynem liczba 6?". Odpowiedź nasuwa nam się sama - liczb -2 i -3.

Rozwiązaniami są więc $x 1 = - 2$ i $x 2 = - 3$

Oczywiście trudniej nam odgadnąć takie rozwiązanie w pamięci. Warto także wspomnieć, że taka metoda odgadywania rozwiązań jest możliwa tylko w wypadku całkowitych pierwiastków o małej wartości. Niemniej skraca nam to czas ich szukania.

Przykład 2. Przekształć podane wyrażenia tak, aby można było skorzystać ze wzorów Viete'a oraz zastosuj je:

a)Kwadrat sumy pierwiastków

b)Sumę kwadratów pierwiastków

c)Sumę odwrotności kwadratów pierwiastków

d)Kwadrat różnicy pierwiastków

e)Sumę sześcianów pierwiastków

a) Kwadrat sumy pierwiastków wygląda następująco:

(x 1 + x 2) 2

Podane wyrażenie nie wymaga żadnych przekształceń aby zastosować wzory Viete'a. Po podstawieniu ich wygląda następująco:

$(frac{-b}{a})^2$

b) Suma kwadratów pierwiastków wygląda następująco:

$x_{1}^2 + x_{2}^2$

W takiej postaci nie da się skorzystać ze wzorów Viete'a (musi być bowiem suma albo iloczyn pierwiastków). Musimy podane wyrażenie więc przekształcić. Spróbujmy zrobić coś takiego:

$(x_{1} + x_{2})^2$

Jednak po podniesieniu takiego wyrażenia do kwadratu otrzymamy

$x_{1}^2 + 2x_{1}x_{2} + x_{2}^2$

co nie jest równoważne z pierwotną postacią. Pojawia nam się nowy element $2 x 1 x 2$ . Więc żeby otrzymać wyrażenie równoważne musimy go odjąć. Otrzymamy w ten sposób:

$(x_{1} + x_{2})^2 - 2x_{1}x_{2}$

Po podniesieniu do kwadratu i odjęciu podanej wartości otrzymamy wyrażenie równoważne pierwotnemu. Co więcej - możemy już korzystać ze wzorów Viete'a! Zapiszmy je więc:

$(frac{-b}{a})^2 - 2 cdot (frac{c}{a})$

c)Suma odwrotności kwadratów pierwiastków wygląda tak: $frac{1}{x_{1}^2} + frac{1}{x_{2}^2}$

Nie można dodać takich wyrażeń ponieważ jest różny mianownik. Spróbujmy więc sprowadzić do wspólnego (wymnóżmy licznik i mianownik w pierwszym wyrażeniu przez $x_{2}^2$ )

$frac{1}{x_{1}^2} = frac{1 cdot x_{2}^2}{x_{1}^2 cdot x_{2}^2} = frac{x_{2}^2}{ x_{2}^2 x_{1}^2}$

Teraz zróbmy to samo z drugim wyrażeniem, jednak wymnóżmy przez $x_{1}^2$ :

$frac{1}{x_{2}^2} = frac{1 cdot x_{1}^2}{x_{2}^2 cdot x_{1}^2} = frac{x_{1}^2}{x_{2}^2 x_{1}^2}$

Dodajmy teraz powstałe wyrażenia:

$frac{x_{2}^2}{x_{1}^2x_{2}^2} + frac{x_{1}^2}{x_{1}^2x_{2}^2} = frac{x_{1}^2 + x_{2}^2}{x_{1}^2x_{2}^2} = frac{(x_{1}+x_{2})^2 - 2x_{1}x_{2}}{(x_{1}x_{2})^2}$

Możemy już korzystać ze wzorów Viete'a. Podstawmy wartości: $frac{(frac{-b}{a})^2 - 2 cdot frac{c}{a}}{(frac{c}{a})^2}$

d) Kwadrat różnicy:

(x 1 - x 2) 2

$(x_{1} - x_{2})^2 = x_{1}^2 - 2x_{1}x_{2} + x_{2}^2 = x_{1}^2 + x_{2}^2 - 2x_{1}x_{2} = (x_{1} + x_{2})^2 - 2x_{1}x_{2} - 2x_{1}x_{2} = (x_{1} + x_{2})^2 - 4x_{1}x_{2}$

Podstawiamy wartości ze wzorów Viete'a:

$(frac{-b}{a})^2 - 4 cdot frac{c}{a}$

e) Suma sześcianów: $x_{1}^3 + x_{2}^3$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów:

$(x_{1}+x_{2})(x_{1}^2 - x_{1}x_{2} + x_{2}^2) = (x_{1}+x_{2})(x_{1}^2 + x_{2}^2- x_{1}x_{2}) =$

$=(x_{1}+x_{2})((x_{1}+x_{2})^2 - 2x_{1}x_{2} - x_{1}x_{2}) = (x_{1}+x_{2})((x_{1}+x_{2})^2 - 3x_{1}x_{2})$

Podstawiamy wzory Viete'a i otrzymujemy:

$(-frac{b}{a})((-frac{b}{a})^2 - 3 cdot frac{c}{a})$