Matura z matematyki - ~ Układ równań z parametrem

Rozwiążmy poniższy układ równań. Musimy znaleźć x i y, dla których ten układ jest spełniony.

$left{ begin{matrix} x - y = 1 x + my = 5 end{matrix} right.$

$left{ begin{matrix} y = x - 1 x + my = 5 end{matrix} right.$

Podstawiając wyznaczony y do drugiego równania otrzymujemy:

$left{ begin{matrix} y = x - 1 x + m(x - 1) = 5 end{matrix} right.$

Wyznaczmy x.

x + m (x - 1) = 5

x + m x - m = 5

(m + 1) x = m + 5

Teraz musimy przeanalizować dwa przypadki -- gdy $m + 1 neq 0$ lub gdy $m + 1 = 0$ .

1. Dla $m + 1 neq 0$ :

$(m + 1)x = m + 5 /{:} (m + 1)$

$x = frac{m + 5}{m + 1}$

Mogliśmy podzielić przez m + 1, ponieważ założyliśmy, że jest różne od 0.

Teraz wyznaczymy y.

$y = x - 1 = frac{m + 5}{m + 1} - 1 = frac{m + 5 - (m + 1)}{m + 1} = frac{4}{m + 1}$ .

2. Dla $m + 1 = 0$ , inaczej $m = - 1$ :

$(m + 1)x = m + 5 iff 0x = m + 5 iff m = -5$ .

Otrzymaliśmy sprzeczność, ponieważ założyliśmy, że $m = - 1$ .

Odp. $x = frac{m + 5}{m + 1}$ i $y = frac{4}{m + 1}$