Matura z matematyki - ~ Postać iloczynowa

Postać iloczynowa trójmianu kwadratowego

TWIERDZENIE

Dany jest trójmian kwadratowy $a x 2 + b x + c$ o współczynnikach rzeczywistych, gdzie $x 1$ i $x 2$ są rozwiązaniami trójmianu

1. Jeżeli $Delta~> 0$ , to postać iloczynowa trójmianu kwadratowego wyraża się wzorem:

$y = a (x - x 1)(x - x 2)$

2. Jeżeli $Delta~= 0$ , to postać iloczynowa trójmianu kwadratowego wyraża się wzorem:

$y = a (x - x 0) 2$

3. Jeżeli $Delta~< 0$ , to trójmian kwadratowy nie ma postaci iloczynowej.

Dowód

Odpowiednio przekształcimy postać kanoniczną trójmianu:

$a(x+frac{b}{2a})^2 - frac{Delta}{4a} = 0$

Chcemy zamienić podaną formułę na iloczyn. Możemy to zrobić stosując wzór skróconego mnożenia, po uprzednim przekształceniu.

$a[(x+frac{b}{2a})^2 - frac{Delta}{4a^2}] = 0$

Zamieniamy wyrażenia w nawiasie aby powstała różnica kwadratów:

$a[(x+frac{b}{2a})^2 - (frac{sqrt{Delta}}{2a})^2] = 0$

I stosujemy wzór $a 2 - b 2$ = (a-b)(a+b)

$a(x+frac{b}{2a}-frac{sqrt{Delta}}{2a})(x+frac{b}{2a}+frac{sqrt{Delta}}{2a})$

$a(x+frac{b - sqrt{Delta}}{2a}) (x+frac{b + sqrt{Delta}}{2a})$

$a(x+frac{-(-b + sqrt{Delta})}{2a}) (x+frac{-(-b - sqrt{Delta})}{2a})$

$a(x-frac{-b + sqrt{Delta}}{2a}) (x-frac{-b - sqrt{Delta}}{2a})$

Gdy $Δ < 0$ to niemożliwe jest doprowadzenia równania do postaci iloczynowej.

Z definicji wynika, że postacią iloczynową jest np:

$y = 2(x - 3)(x + 4)$

$y = (x - 9)(x + 4)$

$y = (x - 3) 2$

Postać iloczynowa jest czytelniejszym zapisem trójmianu. Widać bowiem na niej od razu rozwiązania.

Przykład 1. Wypisz rozwiązania równania (x-3)(x+2)=0

Patrząc na taki przykład możemy od razu podać pierwiastki. Jeśli podstawimy pod x 3, to pierwszy nawias się "wyzeruje". Iloczyn jakiejkolwiek liczby przez 0 daje nam 0. Jeśli podstawimy pod drugi x liczbę -2 to ten nawias także nam się wyzeruje. Rozwiązaniami są więc wartości x=3 i x=-2.

Przykład 2. Zapisz w postaci iloczynowej równanie: $x 2 + 4 x - 5 = 0$

Postępujemy analogicznie jak w rozwiązywaniu równań kwadratowych.

$Delta = 4^2 - 4 cdot 1 cdot (-5) = 36$

$sqrt{Delta} = 6$

$x_{1} = frac{-4 - 6}{2} = -5$

$x_{2} = frac{-4 + 6}{2} = 1$

$Delta > 0$ więc korzystamy ze wzoru: $y = a (x - x 1)(x - x 2)$ . Widzimy, że a = 1.

$1 cdot (x-(-5))(x-1)=0$

$(x+5)(x-1)=0$

Przykład 3. Zapisz w postaci iloczynowej równanie: $2 x 2 - 4 x + 2 = 0$

Bystry obserwator od razu odgadłby, że podane wyrażenie można zwinąć ze wzoru skróconego mnożenia. Jednak taki sposób był już omawiany przy okazji rozwiązywania równań kwadratowych. Policzymy więc wszystko przez deltę.

$Delta = (-4)^2 - 4 cdot 2 cdot 2 = 0$

$x_{0} = frac{4}{4} = 1$

$Delta = 0$ - korzystamy więc ze wzoru: $y = a (x - x 0) 2$ . a jest równe 2.

$2(x - 1) 2 = 0$

Przykład 4. Napisz wzór równania, którego rozwiązaniami są liczby -3 i 7.

Jak już wiesz, w postaci iloczynowej widać od razu rozwiązania. Jeśli chcemy ułożyć równanie, które będzie miało takie pierwiastki wystarczy, że podstawimy te wartości do wzoru.

$(x - ( - 3))(x - 7) = 0$

$(x + 3)(x - 7) = 0$

Możemy już taką postać pozostawić, jednak wymnóżmy wartości w nawiasach przez siebie i stwórzmy w ten sposób trójmian kwadratowy:

$x 2 - 7 x + 3 x - 21 = 0$

$x 2 - 4 x - 21 = 0$

W ten sposób ułożyliśmy równanie, którego rozwiązaniami są liczby -3 i 7. Można to sprawdzić poprzez policzenie delty i pierwiastków (sprawdź!).