Twierdzenie Bézouta

Liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x – p.

To twierdzenie nosi nazwę Twierdzenia Bézouta. Dla dowodu załóżmy, że liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W(x). Na mocy twierdzenia o dzieleniu z resztą mamy W(x) = (x − p)Q(x) + C, gdzie C jest pewną stałą, a Q(x) - wielomianem. Podstawiając x = p dostajemy W(p) = (p − p)Q(p) + C = C, zatem wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x − p. Odwrotnie, niech W(x) = (x − p)P(x), gdzie P(x) jest pewnym wielomianem. Wówczas W(p) = (p − p)P(p) = 0, co kończy dowód.

Na podstawie tego twierdzenia można powiedzieć, że jeżeli wielomian jednej zmiennej posiada pierwiastek, to rozkłada się na czynniki.

Przykład:

W(x) = x³ − x² − 14x + 24

Pierwiastkiem tego wielomianu jest x = (-4), ponieważ:

Wielomian W(x), na podstawie twierdzenia Bezouta, jest podzielny przez dwumian Q(x) = x + 4

Wykonujemy dzielenie W(x) : Q(x).

Otrzymujemy W(x) = x³ − x² − 14x + 24 = (x + 4)(x² − 5x + 6)

Niech: P(x) = x² − 5x + 6. Dokonujemy rozkładu P(x).

P(x) = x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)

Ostatecznie W(x) = x³ − x² − 14x + 24 = (x + 4)(x − 2)(x − 3)