Matura z matematyki - ~Przypmnienie działań na potęgach

Przypomnienie działań na potęgach

Przypomnijmy sobie podstawowe działania na potęgach:

$a 1 = a$
$a n = a a n - 1$
$begin{matrix} a^n= & underbrace{a cdot a cdot a cdot ldots cdot a} \ & n mbox{ razy} \ end{matrix}$
$a 0 = 1$
$a^{-n}=frac{1}{a^n}$
$left(frac{a}{b}right)^{-n}=left(frac{b}{a}right)^{n}$
$a^{frac{1}{n}}=sqrt[n]{a}$
$a^{frac{m}{n}}=(a^{frac{1}{n}})^m$
${a^p} sdot {a^q} = a^{p+q}$
$a p : a q = a p - q$
$(a p) q = a p q$
${(a sdot b)}^p = {a^p} sdot {b^p}$
$left(frac{a}{b}right)^p = frac{a^p}{b^p}$

Kilka podstawowych przykładów

Przykład 1.

Sprowadźmy do jednej potęgi wyrażenie:

a) $10 cdot 2^2 + 2^3 + 2^4$

Rozwiązanie:

$10 cdot 2^2 + 2^3 + 2^4 = 5 cdot 2 cdot 2^2 + 2^3 + 2^4 =$

$= 5 cdot 2^3 + 1 cdot 2^3 + 2^4 = (5+1) cdot 2^3 + 2^4 =$

$= 6 cdot 2^3 + 2^4 = 3 cdot 2^4 + 2^4 =$

$= 4 cdot 2^4 = 2^2 cdot 2^4 = 2^6$

b) $5^2sqrt{125} - 5^3 + frac{500}{sqrt{5}-1} + 3 cdot 5^3 sqrt{5}$

Rozwiązanie:

$5^2sqrt{125} - 5^3 + frac{500}{sqrt{5}-1} + 3 cdot 5^3 sqrt{5} =$

$= 5^2sqrt{5^3} - 5^3 + frac{5^3 cdot 4}{sqrt{5}-1} + 3 cdot 5^3 sqrt{5} =$

$= 5^3sqrt{5} - 5^3 + frac{5^3 cdot 4(sqrt{5}+1)}{(sqrt{5}-1)(sqrt{5}+1)} + 3 cdot 5^3 sqrt{5} =$

$= 5^3sqrt{5} - 5^3 + frac{5^3 cdot 4(sqrt{5}+1)}{4} + 3 cdot 5^3 sqrt{5} =$

$= 5^3sqrt{5} - 5^3 + 5^3sqrt{5} + 5^3 + 3 cdot 5^3 sqrt{5} =$

$= 2 cdot 5^3sqrt{5} + 3 cdot 5^3 sqrt{5} = (2 + 3) cdot 5^3 sqrt{5} = 5^4 sqrt{5} = 5^{9 over 2}$

Przykład 2.

Zapiszmy w postaci potęgi:

a) $sqrt{8sqrt{32sqrt{16sqrt{128sqrt{2}}}}}$

$sqrt{8sqrt{32sqrt{16sqrt{128sqrt{2}}}}} = sqrt{2^3sqrt{2^5sqrt{2^4sqrt{2^7 cdot 2^{1 over 2}}}}} = sqrt{2^3sqrt{2^5sqrt{2^4sqrt{2^{15 over 2}}}}} =$

$= sqrt{2^3sqrt{2^5sqrt{2^4sqrt{2^{15 over 2}}}}} = sqrt{2^3sqrt{2^5sqrt{2^4 cdot 2^{15 over 4}}}} = sqrt{2^3sqrt{2^5sqrt{2^4 cdot 2^{15 over 4}}}} =$

$= sqrt{2^3sqrt{2^5sqrt{2^{31 over 4}}}} = sqrt{2^3sqrt{2^5 cdot 2^{31 over 8}}} = sqrt{2^3sqrt{2^{71 over 8}}} = sqrt{2^3 cdot 2^{71 over 16}} =$

$= sqrt{2^{119 over 16}} = 2^{119 over 32}$

b) $sqrt{9 cdot sqrt[3]{9 cdot sqrt[4]{9 cdot sqrt[5]{9}}}}$

$sqrt{9 cdot sqrt[3]{9 cdot sqrt[4]{9 cdot sqrt[5]{9}}}} = sqrt{9 cdot sqrt[3]{9 cdot sqrt[4]{9 cdot 9^{1 over 5}}}} = sqrt{9 cdot sqrt[3]{9 cdot sqrt[4]{9^{6 over 5}}}} =$

$= sqrt{9 cdot sqrt[3]{9 cdot 9^{3 over 10}}} = sqrt{9 cdot sqrt[3]{9^{13 over 10}}} = sqrt{9 cdot 9^{13 over 30}} =$

$= sqrt{9^{43 over 30}} = 9^{43 over 60}$

Przykład 3.

Udowodnijmy równość:

a) $frac{12}{sqrt{7}-2} - 4 sqrt{7} = 8$

$L = frac{12}{sqrt{7}-2} - 4 sqrt{7} = frac{12 - 4 sqrt{7}(sqrt{7} - 2)}{sqrt{7}-2} = frac{12 - 28 + 2 cdot 4sqrt{7}}{sqrt{7}-2} =$

$= frac{8sqrt{7} - 16}{sqrt{7}-2} = frac{8(sqrt{7} - 2)}{sqrt{7}-2} = 8$

P = 8

czyli

L = P

b) $frac{24}{sqrt{10} - 2} = 4sqrt{10} + 8$

$L = frac{24}{sqrt{10} - 2} = frac{24(sqrt{10}+2)}{(sqrt{10}-2)(sqrt{10}+2)} = frac{24(sqrt{10}+2)}{6} = 4(sqrt{10}+2) = 4sqrt{10} + 8$

$P = 4sqrt{10} + 8$

zatem

L = P

c) $sqrt{31-12sqrt{3}} - 3sqrt{4+2sqrt{3}} = -5$

$L = sqrt{27-12sqrt{3}+4} - 3sqrt{3+2sqrt{3}+1} = sqrt{(3sqrt{3}-2)^2} - 3sqrt{(sqrt{3}+1)^2} =$

$= |3sqrt{3}-2| - 3|sqrt{3}+1| = (3sqrt{3}-2) - 3(sqrt{3}+1) = 3sqrt{3} - 2 - 3sqrt{3} - 3 = -5$

P = 5

L = P

Przykład 4.

Udowodnijmy teraz, że liczba $sqrt{101-36sqrt{5}} + sqrt{29+12sqrt{5}}$ jest wymierna:

$sqrt{101-36sqrt{5}} + sqrt{29+12sqrt{5}} = sqrt{(2sqrt{5}-9)^2} + sqrt{(3+2sqrt{5})^2} =$

$= |2sqrt{5}-9| + |3+2sqrt{5}| = 9-2sqrt{5} + 3+2sqrt{5} =$

$= 12 in mathbb{Q}$

Przykład 5.

Teraz odwrotnie, udowodnijmy, że liczba $sqrt{7 + 4sqrt{3}} + sqrt{13 - 4sqrt{3}}$ jest niewymierna:

$sqrt{7 + 4sqrt{3}} + sqrt{13 - 4sqrt{3}} = sqrt{(sqrt{3}+2)^2} + sqrt{(1-2sqrt{3})^2} =$

$= |sqrt{3}+2| + |1-2sqrt{3}| = sqrt{3}+2 + 2sqrt{3} -1 =$

$= 3sqrt{3} + 1 notin mathbb{Q}$