Matura z matematyki - ~Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny trochę przypomina ciąg arytmetyczny, tylko zamiast różnicy iloraz jest stały. Zobaczmy na kilka przykładów:

$(a_n) = (1, 2, 4, 8, 16, dots)$
$(b_n) = (2, 6, 18, 54, 162, dots)$
$(c_n) = (100, 20, 4, frac{4}{5}, frac{4}{25}, dots)$
$(d_n) = (10, 100, 1000, 10000, 100000, dots)$

Zobaczmy na ciąg $(a n)$ . Iloraz ma być stały, no i rzeczywiście $frac{2}{1} = frac{4}{2} = frac{8}{4} = frac{16}{8} = dots = 2$ . Podobnie w ciągu $(b n)$ mamy $frac{6}{2} = frac{18}{6} = frac{54}{18} = dots = 3$ . Czyli widzimy, że w ciągu geometrycznym ${a_{n+1} over a_{n}}$ jest stałe.

DEFINICJA

Ciąg, w którym iloraz dwóch kolejnych wyrazów jest stały nazywamy ciągiem geometrycznym.

Iloraz $frac{a_{n+1}}{a_n}$ nazywamy ilorazem ciągu i oznaczamy najczęściej jako q, czyli:

$q = frac{a_{n+1}}{a_n}$

(iloraz ciągu)

Liczba q została tak dobrana, aby zachodziło:

$a_{n+1} = a_n cdot q$

Ciąg geometryczny posiada co najmniej trzy wyrazy.

Wzór ogólny

Podobnie, jak to robiliśmy w przypadku ciągu arytmetycznego, wyprowadzimy wzór na n-ty element ciągu geometrycznego. Mamy pierwszy element $a 1$ , a także iloraz q i wiemy, że zachodzi $a_{n+1} = a_n cdot q$ . Wypiszmy wyrazy tego ciągu:

$a 1$
$a_2 = a_1 cdot q$
$a_3 = a_2 cdot q = (a_1 cdot q) cdot q = a_1 cdot q^2$
$a_4 = a_3 cdot q = (a_1 cdot q^2) cdot q = a_1 cdot q^3$
$a_5 = a_4 cdot q = (a_1 cdot q^3) cdot q = a_1 cdot q^4$
...

Widzimy, że $a n$ jest postaci $a_1 cdot q^{pewna liczba}$ , a ta pewna liczba dla n=5 wynosi 4, dla n=4 wynosi 3, dla n=3 wynosi 2. Ok, czyli liczba ta jest równa n-1, więc otrzymujemy wzór:

$a_n = a_1 cdot q^{n-1}$

(wzór ogólny ciągu geometrycznego)

W ciągu geometrycznym $(a n)$ także zachodzi:

$a_n^2 = a_{n-1} cdot a_{n+1}$

TWIERDZENIE

Niech (a_n) będzie ciągiem geometrycznym o ilorazie q. Jeśli:
1) $a_1>0 and q>1$ , to (a_n) jest ciągiem rosnącym;
2) $a_1>0 and q in (0,1)$ , to (a_n) jest ciągiem malejącym;
3) $a_1<0 and q>1$ , to (a_n) jest ciągiem malejącym;
4) $a_1<0 and q in (0,1)$ , to (a_n) jest ciągiem rosnącym;
5) $q=1 or q=0$ , to (a_n) jest ciągiem stałym (dla $q = 0$ - od drugiego wyrazu);
6) $q < 0$ , to (a_n) nie jest ciągiem monotonicznym.