Matura z matematyki - ~Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych

Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych

DEFINICJA

Nierównością logarytmiczną nazywamy nierówność, w której niewiadoma występuje jedynie w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu. Przykładami nierówności logarytmicznych są:

$log x > 5$
$log_2 (x^2+1) leq 3$
$log x + 1$

Ze względu na to, że funkcja logarytmiczna jest malejąca dla podstawy należącej do przedziału $(0;1)$ , dlatego przy pozbywaniu się logarytmu z nierówności należy zmienić znak na przeciwny. Natomiast dla podstawy zawierającej się w $(1;+infty)$ zostawiamy znak taki, jaki był. Zresztą zaraz zobaczymy to na przykładach.

Przykład 1

Rozwiążmy nierówność $log 3 x > 4$ .

Ustalamy dziedzinę: $x in mathbb{R}_+$
Ponieważ podstawa logarytmu jest większa od 1, więc nie zmieniamy znaku na przeciwny, zatem:
$log_3 x >4 iff x > 3^4$
$x > 81$
Znajdujemy cześć wspólną rozwiązania z dziedziną, czyli:
$(x in (81;+infty) and x in (0;+infty)) iff x in (81;+infty)$
Odp. $x in (81;+infty)$

Przykład 2

Rozwiążmy nierówność $log 0,5 (x 2) < 4$

Ustalamy dziedzinę:
$x^2 > 0 iff x neq 0$ , czyli:
$D = mathbb{R} backslash {0}$
Podstawa logarytmu (czyli $0,5$ )zawiera się w przedziale $(0;1)$ , więc musimy zmienić znak nierówności na przeciwny:
$log_{0{,}5} (x^2) < 4 iff x^2 > (0{,}5)^4$ i otrzymujemy, że:
$x^2 - (0{,}5)^4 > 0 iff x^2 - (0{,}25)^2 > 0 iff (x - 0{,}25)(x + 0{,}25) > 0$
czyli $x in (-infty;-0{,}25) cup (0{,}25, +infty)$
Teraz znajdujemy część wspólną tego rozwiązania z dziedziną, czyli:
$x in ((-infty;-0{,}25) cup (0{,}25, +infty)) cap (mathbb{R} backslash {0}) iff x in (-infty;-0{,}25) cup (0{,}25, +infty)$
Odp. $x in (-infty;-0{,}25) cup (0{,}25, +infty)$

Przykład 3

Zajmijmy się teraz taką nierównością $log_frac{1}{3} x^2 leq 4$ :

$D = R backslash {0}$
$log_frac{1}{3} x^2 leq 4 iff x^2 geq left(frac{1}{3}right)^4$ , ponieważ podstawa jest mniejsza od 1
$x^2 - left(frac{1}{3}right)^4 geq 0$
$left(x - frac{1}{9}right)left(x + frac{1}{9}right) geq 0$
Czyli $x in left(-infty;-frac{1}{9}right] cup left[frac{1}{9};+inftyright)$
Biorąc część wspólną z dziedziną otrzymujemy, że $x in left(-infty;-frac{1}{9}right] cup left[frac{1}{9};+inftyright)$
Odp. $x in left(-infty;-frac{1}{9}right] cup left[frac{1}{9};+inftyright)$

Przykład 4

Rozwiążmy nierówność $log 3 x - 3 16 < 2$ :

Ustalamy dziedzinę:
Ponieważ podstawa logarytmu musi należeć do zbioru $(0;1) cup (1;+infty)$ , więc będzie także w tym przypadku. Mamy:
$(3x-3) in (0;1) cup (1;+infty)$
czyli $D = left(1;frac{4}{3}right) cup left(frac{4}{3};+inftyright)$
Teraz musimy rozważyć dwa przypadki, co będzie, gdy i gdy , ponieważ w pierwszym przypadku będziemy musimy zmienić znak nierówności na przeciwny, a w drugim nie.
- dla $x in left(1;frac{4}{3}right)$
  $log_{3x-3} 16 < 2 iff 16 > (3x-3)^2 iff (3x-3)^2-16 < 0$ , tu możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:
  $(3x-3-4)(3x-3+4) < 0 iff 3left(x-frac{7}{3}right) cdot 3left(x+frac{1}{3}right) < 0$
  czyli $x in left(-frac{1}{3};frac{7}{3}right)$ , a także $x in left(1;frac{4}{3}right)$ (z założenia)
  czyli $x in left(1;frac{4}{3}right)$
- dla $x in left(frac{4}{3};+inftyright)$
  $log_{3x-3} 16 < 2 iff 16 < (3x-3)^2 iff 3left(x-frac{7}{3}right) cdot 3left(x+frac{1}{3}right) > 0$
  czyli $x in left(-infty;-frac{1}{3}right) cup left(frac{7}{3}; +inftyright)$ i $x in left(frac{4}{3};+inftyright)$
  czyli $x in left(frac{7}{3}; +inftyright)$
Ostatecznie podsumowując te dwa przypadki otrzymujemy, że $x in left(1;frac{4}{3}right) cup left(frac{7}{3}; +inftyright)$
Odp. $x in left(1;frac{4}{3}right) cup left(frac{7}{3}; +inftyright)$