Matura z matematyki - ~Pojęcie ciągu

Pojęcie ciągu

Zacznijmy od przykładu. Wyobraźmy sobie, że jesteśmy w hipermarkecie i jak zwykle stoimy w kolejce przy kasie. Przed nami stoi kolejno Józek, Maryśka, Krzysiek, Kaśka, Magda, Zdzichu i Mietek. Każda z tych osób zapewne zastanawia się, która jest w kolejce i jak długo sobie jeszcze postoi. Na samym początku, przy kasie jest Mietek, więc jest pierwszy, potem jest Zdzichu, więc jest drugi, następna jest Magda, więc jest trzecia, czwarta jest Kaśka itd. W ten sposób otrzymaliśmy pewien ciąg. Otóż każdej liczbie naturalnej od 1 do iluś tam, przypisaliśmy konkretną osobę np. dla 1 mamy Mietka, a dla 6 Maryśkę.

Spojrzmy teraz na definicję:

DEFINICJA

Ciągiem nazywamy funkcję, która jest określona dla kolejnych liczb naturalnych dodatnich.

Jeśli są to wszystkie liczby naturalne dodatnie, wówczas ciąg taki nazywamy ciągiem nieskończonym.

Jeśli ta funkcja jest zdefiniowana dla kolejnych liczb mniejszych lub równych pewnej liczbie n, wówczas ciąg ten jest nazywany ciągiem skończonym.

Co to oznacza? Jeśli mamy funkcję a(x) i wiemy, że jest ciągiem, wówczas dziedzina funkcji a zawiera się w zbiorze liczb naturalnych dodatnich, czyli $D_a subset mathbb{N}_+$ . Ponadto jeśli ciąg jest nieskończony wówczas a(1), a(2), a(3), a(4), ... jest zdefiniowane, zatem $D_a = mathbb{N}_+$ .

Jeśli ciąg jest skończony, wówczas określone jest jedynie a(1), a(2), a(3), ..., a(n), czyli $D_a = {1, 2, 3, dots, n }$ .

Ponieważ ciąg jest zdefiniowany dla kolejnych liczb, więc jeśli wiemy, że np. a(100) jest zdefiniowane, wówczas a(99) będzie także zdefiniowane, ponieważ następną liczbą po 99 jest 100. Analogicznie a(98) także będzie zdefiniowane, ponieważ następną liczbą po 98 jest 99 itd. W końcu zejdziemy tak do 50, aż w końcu dotrzemy do 1. Nie wiemy natomiast, czy a(101) jest określone, ponieważ 100 mogło być największą liczbą, dla której właśnie ten ciąg jest określony.

Jeśli mamy na myśli ciąg z reguły piszemy $a 1$ zamiast $a (1)$ , $a 2$ zamiast $a (2)$ , $a 3$ zamiast $a (3)$ itd. W ogólności zamiast $a (n)$ napiszemy $a n$ .

$a 1$ , $a 10$ , czy też $a n$ są nazywane wyrazami ciągu. $a 1$ to pierwszy wyraz ciągu, $a 5$ to piąty wyraz ciągu, a $a k$ to k-ty wyraz ciągu itd.

Pisząc $(a n)$ mamy na myśli pewien cały ciąg, czyli wszystkie wyrazy $a 1$ , $a 2$ , $a 3$ , ..., $a k$ , ..., a nie tylko jeden wyraz $a n$ .

Zamiast a może być dowolna inna litera alfabetu.

Zobaczmy na kolejny przykład ciągu: $a 1 = 1$ , $a 2 = 4$ , $a 3 = 2$ , $a 4 = 10$ . Widać, że ciąg ten jest skończony. Możemy nawet powiedzieć, że ma tylko 4 wyrazy. Zauważmy także, że wartościami tego ciągu są liczby np. 10 dla wyrazu $a 4$ . Ciąg taki nazywamy ciągiem liczbowym.

DEFINICJA

Ciąg nazywamy ciągiem liczbowym, jeśli wartości tego ciągu są liczbami.

Przykład przedstawiony na samym początku na pewno nie będzie ciągiem liczbowym, ponieważ Kaśkę, Mietka czy Maryśkę raczej do liczb nie zakwalifikujemy.

Zanim przejdziemy dalej zobaczmy na przykład ciągu nieskończonego $(b n)$ , w którym zachodzi:

b n = 2 n

O ciągu tym możemy powiedzieć, że jest nieskończony, co zresztą już wiemy. Na pewno jest liczbowy. Kilka pierwszych wyrazów wynosi:

$b_1 = 2 cdot 1 = 2$ , $b_2 = 2 cdot 2 = 4$ ,

b 3 = 6

Ciąg ten możemy zapisać także jako:

$(b_n) = (2, 4, 6, 8, dots)$ .

Kolejnym przykładem ciągu liczbowego jest $(c n)$ , gdzie

$c_n = 2(n-4) mbox{ dla } 1 leq n leq 8$ .

Wypiszmy wszystkie wyrazy tego ciągu:

$c_1 = 2cdot (1-4) = -6$ , $c_2 = 2 cdot (2-4) = -4$ , $c_3 = 2 cdot (3-4) = -2$ ,

c 4 = 0

c 5 = 2

c 6 = 4

c 7 = 6

c 8 = 8

Podobnie jak dla funkcji, także dla ciągu możemy narysować wykres funkcji. Dla powyższego przykładu wykres będzie wyglądał tak:

Wykres ciągu liczbowego zawsze będzie składał się z punktów, ponieważ dziedziną jest zbiór liczb całkowitych dodatnich lub jego pewien podzbiór, a zbiór liczb całkowitych nie jest taki „płynny” jak zbiór liczb rzeczywistych.