Matura z matematyki - ~ Postać kanoniczna i wykres funkcji kwadratowej

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

$f(x) = a(x - p)^{2} + q, ;; xinmathbb{R}$
p i q są jednocześnie współrzędnymi wierzchołka paraboli (odpowiednio $X w$ i $Y w$ ), $p=tfrac{-b}{2a}$ oraz $q= -tfrac{Delta}{4a}$ ,
zapis ten pomaga w narysowaniu wykresu funkcji, gdyż wystarczy wówczas wykres $y = a x 2$ przesunąć o wektor $[ p,, q ]$ .

Minimum oraz maksimum funkcji w danym przedziale <a, b>

znajdujemy trzy wartości: f(a), f(b), q
jeśli wartość p nie należy do przedziału <a,b> -wówczas wierzchołek jest poza przedziałem, odrzucamy go (ignorujemy wartość q)
największą z uzyskanych wartości przyporządkujemy maksimum, najmniejszą - minimum.

Wykres funkcji kwadratowej

Kolejno wymienione kroki pomogą w narysowaniu wykresu paraboli.

Sporządźmy częściową tabelkę, ukazującą wartości funkcji $y = x 2$ dla kilku kolejnych argumentów.

x	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
$y = x 2$	16	9	4	1	0	1	4	9	16

Otrzymujemy kilka par współrzędnych x i y, które to punkty nanosimy na układ współrzędnych, uzyskując wykres:

Stwórzmy kolejną tabelkę dla funkcji $y = - x 2$

x	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
$y = - x 2$	-16	-9	-4	-1	-0	-1	-4	-9	-16

Podobnie, nanosimy wartości na układ współrzędnych i otrzymujemy wykres:

Wykres ten jest "odbitym" wykresem funkcji $y = x 2$ , symetrycznie względem osi OX.

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej jest to równanie postaci:
$y = a(x - p)^{2} + q,$

gdzie: $p = tfrac{-b}{2a}$ , natomiast $q = tfrac{-Delta}{4a}$ ,
wartości p i q nie są bez znaczenia - są to jednocześnie współrzędne wierzchołka paraboli $W(X_{w},; Y_{w})$ , czyli Xw = p, Yw = q.

Inaczej mówiąc, jest to rodzaj równania, które zawiera w sobie informacje na temat położenia wierzchołka paraboli. Przykładowo, funkcje $f (x) = 2 x 2 - 4 x + 7$ i $f (x) = 2(x - 1) 2 + 5$ są sobie równoznaczne - można z jednego wzoru uzyskać drugi. Dotyczą więc tej samej funkcji, choć o dwóch róznych zapisach.

Dowód (informacje dodatkowe)

Przyrównajmy do siebie postać ogólną oraz kanoniczną:

$a x 2 + b x + c = a (x - p) 2 + q$

$a x 2 + b x + c = a (x 2 - 2 x p + p 2) + q$

$a x 2 + b x + c = a x 2 - 2 a p x + a p 2 + q$

$color{Red}bcolor{Black}x+color{Blue}ccolor{Black} = color{Red}- 2apcolor{Black}x + color{Blue}ap^2 + q$

Przyjrzyjmy się - mamy równanie, z którego musimy wyrugować p oraz q. Po prawej stronie mamy odpowiednio współczynniki: $b = - 2 a p$ (czyli wyraz przy x), $c = a p 2 + q$ (wyraz wolny). Całe równanie będzie prawidłowe, gdy współczynnik b po lewej stronie będzie równy współczynnikowi b po prawej stronie. Podobnie ze współczynnikiem c - współczynnik po obu stronach musi być równy. Tworzymy w ten sposób układ równań, który wygląda następująco:

$begin{cases} b = -2ap c = ap^2 + q end{cases}$

$begin{cases} p = frac{-b}{2a} q = c - ap^2 end{cases}$

$q = c - aleft (frac{-b}{2a}right )^2 quad quad q = c - frac{b^2}{4a}$

$q = frac{4ac}{4a} - frac{b^2}{4a} quad quad quad quad q = frac{4ac - b^2}{4a}$

$q = frac{-(-4ac+b^2)}{4a} quad quad q = -frac{b^2-4ac}{4a}$

$q = -frac{Delta}{4a}$

Przykład 1.

Rozpatrzmy funkcję $y = (x - 4) 2 + 2$ . Patrząc na definicję postaci kanonicznej, dochodzimy do kilku wniosków:

1. Współczynnik kierunkowy a jest równy 1. Funkcja ma więc ramiona skierowane ku górze (gdyż a>0).

2. Współczynnik p jest równy 4. Oznacza to, że funkcję należy przesunąć o 4 jednostki w prawą stronę układu współrzędnych.

3. Współczynnik q jest równy 2. Oznacza to, że funkcję należy przesunąć o 2 jednostki w górę układu współrzędnych.

Punkty 2. i 3. oznaczają to samo, co: funkcję należy przesunąć o wektor [4, 2].

Biorąc pod uwagę trzy powyższe warunki, konstruujemy wykres funkcji, który wygląda następująco:

Przykład 2.

Zad. Sprowadź do postaci kanonicznej funkcję $y = - x 2 - 10 x - 19$ oraz narysuj jej wykres.

Wypiszmy współczynniki a, b i c z tego równania:

a = -1, b = -10, c = - 19. Współczynnik kierunkowy a jest ujemny, więc ramiona będą skierowane w dół. Obliczmy teraz wartości p oraz q.

$p = tfrac{- b}{2a}$

$p = tfrac{- (-10)}{2 cdot (-1)}$

$p = -5$

$q = tfrac{-Delta~}{4a}$

Żeby obliczyć q musimy najpierw policzyć wyróżnik trójmianu kwadratowego (Deltę).

$Delta~ = b^{2} - 4ac$

$Delta~ = (-10)^2 - 4 cdot (-1) cdot (-19)$

$Delta~ = 24$

$q = tfrac{-24}{4 cdot (-1)}$

$q = 6$

Teraz wprowadzamy wartości p i q do wzoru postaci kanonicznej i otrzymujemy:

$y = - (x - ( - 5)) 2 + 6 = 6$

Mając współrzędne p i q wierzchołka paraboli, rysujemy wykres:

Przykład 3.

Zad. Napisz wzór funkcji, która osiąga maksimum w punkcie A=(3,4).

Funkcja kwadratowa osiąga maksimum w punkcie wierzchołka paraboli, gdy a<0 (gdy a>0, ramiona są skierowane do góry, wierzchołek jest najniższym punktem - funkcja osiąga więc w nim minimum). Szukamy maksimum, dlatego musimy założyć, że a < 0. Z faktu, że funkcja osiąga maksimum w punkcie A=(3,4), otrzymujemy wartości współrzędnych $x w$ oraz $y w$ (kolejno, p i q). Mamy więc p=3 oraz q=4. Możemy zapisać postać kanoniczną:

$y = a (x - 3) 2 + 4$

Pozostaje nam nieokreślone a. Musi być ono ujemne, jednak czy wpływa na położenie rozpatrywanego przez nas wierzchołka paraboli? Okazuje się, że jaką wartość nie podstawimy, zmieni ona jedynie wygląd ramion wykresu, kiedy wierzchołek paraboli nadal będzie w punkcjie (3,4). Aby zapisać pełny wzór szukanej funkcji, podstawimy dowolne ujemne a'.

$y = - 4(x - 3) 2 + 4$

Zapiszmy jeszcze funkcję w postaci ogólnej.

$y = - 4 * (x 2 - 6 x + 9) + 4$
$y = - 4 x 2 + 24 x - 36 + 4$
$y = - 4 x 2 + 24 x - 32$

Jako, że za a mogliśmy podstawić dowolną inną liczbę ujemną, możemy wywnioskować, że istnieje nieskończenie wiele wzorów funkcji, spełniających warunki zadania (czyli o wierzchołku paraboli w punkcie (3,4) ).

Przykład 4.

Zad. Podaj największą i najmniejszą wartość funkcji $f (x) = x 2 - 3 x - 10$ w przedziale <-1, 3>.

Będziemy musieli policzyć 3 wartości - współrzędną y wierzchołka paraboli (o ile czyli wartość x należy do przedziału!) oraz wartości funkcji z krańców podanego przedziału, które to policzymy na poczatku:

$f ( - 1) = - 6$

$f (3) = - 10$

Współrzędna x wierzchołka (czyli p):

$p=frac{-b}{2a} = frac{3}{2} = 1.5$

x=1.5 należy do przedziału <-1, 3> (gdyby tak nie było, wierzchołek leżałby poza rozpatrywanym przedziałem, wówczas już nas nie interesuje).

Ponieważ a>0 (a = 1), funkcja osiąga w punkcie wierzchołka minimum, o czym zaraz się przekonamy.

Alternatywną metodę znalezienia wartości q jest, mając obliczoną wartość p wierzchołka, obliczenie wartości funkcji dla p, czyli $q,=,f(p)$

Obliczamy y wierzchołka (czyli q), korzystając z wartości p=1,5.

$f( frac{3}{2} ) = (frac{3}{2})^2 - 3 cdot ( frac{3}{2} ) - 10 = frac{9}{4} - frac{9}{2} - 10 = -frac{49}{4}$

Uzyskaliśmy więc: wartość -6 dla x=-1, wartość -10 dla x=3 oraz wartość $-tfrac{49}{4}$ dla x=1,5. Jak nie trudno się domyśleć, największa wartość będzie szukanym maksimum, najmniejsza - minimum.

Podsumowując, funkcja osiąga minimum dla x= 1,5 oraz maksimum dla x=-1.

Przy braku pewności co do obliczeń, zawsze można posłużyć się szkicem wykresu funkcji.

Przykład 5.

Zad. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji $f (x) = - x 2 - 4 x + 12$ w przedziale <-5, 3>.

Analogiczy przypadek jak powyżej.
Badamy wartość funkcji na krańcach przedziałów:

$f(-5)=-(-5)^2 - 4 cdot (-5) + 12 = -25 + 20 + 12 = 7$ $f(3)=-(3)^2-4 cdot 3 + 12 = -9 - 12 + 12 = -9$

Sprawdzamy, czy wierzchołek należy do przedziału:

$p=frac{-b}{2a} = frac{4}{-2} = -2$

Wierzchołek paraboli należy do przedziału. Ponieważ a<0, funkcja osiąga w jego punkcie maksimum (ramiona są skierowane do góry, wierzchołek jest najniższym punktem).

$f(-2) = -(-2)^2 - 4 cdot (-2) + 12 = -4 + 8 + 12 = 16$

Funkcja osiąga minimum w punkcie x=3 oraz maksimum w punkcie x = -2.

Gdyby punkt wierzchołka nie należał do podanego przedziału, funkcja osiągałaby wartości największe i najmniejsze na jego krańcach.

Czy wiesz, że...

Wpółrzędną $x w$ można wyznaczyć ze wzoru: $x_{w}=frac{x_{1}+x_{2}}{2}$ , gdzie $x 1$ i $x 2$ są miejscami zerowymi funkcji (pierwiastkami). Jest to wynikiem tego, że wierzchołek leży zawsze w połowie ich odległości.