Matura z matematyki - ~ Działania na wielomianach

Dodawanie wielomianów

Aby dodać wielomian musimy dodać wyrazy podobne oraz uporządkować je.

$A (x) = 4 x 5 + x 3 + 2 x 2 + 8 x + 20$
$B (x) = 13 x 5 + 7 x 4 + x 3 + 11$

$A (x) + B (x) = 4 x 5 + x 3 + 2 x 2 + 8 x + 20 + 13 x 5 + 7 x 4 + x 3 + 11 = 17 x 5 + 7 x 4 + 2 x 3 + 2 x 2 + 8 x + 31$

Dodawanie wielomianów jest przemienne oraz łączne:

$A (x) + B (x) = B (x) + A (x)$ - przemienność

$(A (x) + B (x)) + C (x) = A (x) + (B (x) + C (x))$ - łączność

Odejmowanie wielomianów

Odejmowanie wielomianów jest podobne do dodawania. Od współczynników pierwszego wielomianu musimy odjąć współczynniki drugiego:

$A (x) = 4 x 5 + x 3 + 2 x 2 + 8 x + 20$
$B (x) = 13 x 5 + 7 x 4 + x 3 + 11$

$A (x) - B (x) = 4 x 5 + x 3 + 2 x 2 + 8 x + 20 - (13 x 5 + 7 x 4 + x 3 + 11) = - 9 x 5 - 7 x 4 + 2 x 2 + 8 x + 9$

Odejmowanie wielomianów podobnie jak zwykłe odejmowanie nie jest przemienne i łączne:

$A(x)-B(x) neq B(x)-A(x)$

$(A(x)-B(x))-C(x) neq A(x)-(B(x)-C(x))$

Ćwiczenia

1) Dodaj wielomiany

$A (x) = 6 x 3 + 13 x 2 + 20 x$ oraz $B (x) = 10 x 4 + 7 x 3 + 2 x 2 + 10 x + 10$
$C (x) = 11 x 20 + 120 x 13 + 10 x 10 + 5 x + 7$ oraz $D (x) = 11 x 21 + 3 x 19 + 9 x 10 + x - 4$

2) Odejmij wielomiany

$A (x) = 6 x 3 + 13 x 2 + 20 x$ oraz $B (x) = 10 x 4 + 7 x 3 + 2 x 2 + 10 x + 10$
$C (x) = 11 x 20 + 120 x 13 + 10 x 10 + 5 x + 7$ oraz $D (x) = 11 x 21 + 3 x 19 + 9 x 10 + x - 4$

3) $W (x) = 4 x 6 + 9 x 4 + 8 x 3 + 5 x 2 + x + 1 i P (x) = 3 x 6 + x 5 + 2 x 4 + 2 x 2 + 3 x + 10$ Podaj wzór wielomianu Q(x) jeśli:

W(x)+Q(x)=P(x)
W(x)-Q(x)=P(x)

Mnożenie wielomianów

Mnożenie wielomianów polega na wymnożeniu przez siebie wyrazów obu wielomianów:

$A(x)=x^4+4x^2-x+2,$

$B(x)=x^4+x^3+10,$

$A(x)*B(x)=(x^4+4x^2-x+2)(x^4+x^3+10)=,$

Mnożymy każdy wyraz pierwszego wielomianu przez każdy wyraz drugiego:

$x^4 cdot x^4+x^4 cdot x^3+x^4 cdot 10+4x^2 cdot x^4 +4x^2 cdot x^3+4x^2 cdot 10-x cdot x^4-x cdot x^3-x cdot 10 + 2 cdot x^4+ 2 cdot x^3+ 2 cdot 10=$

$x^8+x^7+10x^4+4x^6+4x^5+40x^2-x^5-x^4-10x+2x^4+2x^3+20=,$

Redukujemy wyrazy podobne i porządkujemy otrzymany wielomian:

$x^8+x^7+4x^6+3x^5+11x^4+2x^3+40x^2-10x+20,$

Dzielenie wielomianów

Przykład

(x³-2x²-2x-3):(x-3)=x²+x+1

-x³+3x²
-------------
     x²-2x-3
    -x²+3x
    ---------
         x-3
        -x+3
        -----
         = =

Opis

1. x³:x=x²
2. x²·x=x³ - przepisujemy ze zmienionym znakiem
3. x²·(-3)=(-3x²) - przepisujemy ze zmienionym znakiem ponownie
4. -2x²+3x²=x²
5. -2x i -3 przepisujemy
6. x²:x=x
7. x·x=x² - przepisujemy ze zmienionym znakiem
8. x·3=3x
9. -2x+3x=x
10. -3 przepisujemy
11. x:x=1
12. 1·x=x - przepisujemy ze zmienionym znakiem
13. 1·(-3)=(-3)
14. -x+x=0; -3+3=0; = =

Dodatek

(..-2x²..):(..)=..

...+3x²
-------

    ^^(-2x²+3x²=x²)


(dzielna):(dzielnik)=iloraz

Nad kreską: Dzielimy pierwszą liczbę z dzielnej przez pierwszą z dzielnika i wpisujemy w iloraz, przez iloraz mnożymy po kolei liczby z dzielnika i zapisujemy ze zmienionym znakiem.
Pod kreską: Odejmujemy/dodajemy jak w ramce "dodatek", a te liczby których nie możemy odjąć/dodać - przepisujemy.
Nad kolejnymi kreskami: Bierzesz pierwszą liczbę z pod kreski i dzielisz przez pierwszą liczbę z dzielnika.. dalej tak samo jak "nad kreską" opisałem wcześniej..

1. W razie gdyby na końcu została jakaś reszta piszemy tak w wyniku: 
(iloraz)(dzielnik)+(reszta)
2. Zera w działaniu pomijamy ponieważ: 2+0=2