Matura z matematyki - ~Tożsamości trygonometryczne

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

$sin 2 α + cos 2 α = 1$

$tgalpha = frac{sinalpha}{cosalpha}$

$ctgalpha = frac{cosalpha}{sinalpha}$

$tgalpha cdot ctgalpha = 1$

Dowód prawdziwości $sin 2 α + cos 2 α = 1$ :

$sin^2alpha + cos^2alpha = left ( frac{a}{c} right )^2 + left ( frac{b}{c}right )^2 = frac{a^2}{c^2} + frac{b^2}{c^2} = frac{a^2 + b^2}{c^2} = 1$

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa możemy stwierdzić, że $frac{a^2 + b^2}{c^2} = 1$ ponieważ

$a^2 + b^2 = c^2 Big/ cdot frac{1}{c^2}$

$frac{a^2 + b^2}{c^2} = frac{c^2}{c^2}$

$frac{a^2 + b^2}{c^2} = 1$

Dowód prawdziwości $tgalpha = frac{sinalpha}{cosalpha}$

$tgalpha = frac{sinalpha}{cosalpha} = frac{ frac{a}{c} }{ frac{b}{c} } = frac{a}{c} cdot frac{c}{b} = frac{a}{b}$

Dowód prawdziwości $ctgalpha = frac{cosalpha}{sinalpha}$

$ctgalpha = frac{cosalpha}{sinalpha} = frac{ frac{b}{c} }{ frac{a}{c} } = frac{b}{c} cdot frac{c}{a} = frac{b}{a}$

Dowód prawdziwości $tgalpha cdot ctgalpha = 1$

$tgalpha cdot ctgalpha = frac{a}{b} cdot frac{b}{a} = 1$

Pozostałe tożsamości trygonometryczne

Funkcje sumy i różnicy kątów

$sin ( alpha + beta ) = sinalphacdotcosbeta + cosalphacdotsinbeta$

$sin ( alpha - beta ) = sinalphacdotcosbeta - cosalphacdotsinbeta$

$cos ( alpha + beta ) = cosalphacdotcosbeta - sinalphacdotsinbeta$

$cos ( alpha - beta ) = cosalphacdotcosbeta + sinalphacdotsinbeta$

$tg (alpha + beta) = frac{ tgalpha + tgbeta }{ 1-tgalpha cdot tgbeta }$ , jeżeli $cosalpha neq ; 0 land cosbeta neq ; 0 land cos (alpha + beta)$

$tg (alpha - beta) = frac{ tgalpha - tgbeta }{ 1+tgalpha cdot tgbeta }$ , jeżeli $cosalpha neq ; 0 land cosbeta neq ; 0 land cos (alpha + beta)$

$ctg (alpha + beta) = frac{ ctgalpha cdot ctgbeta - 1 }{ ctgalpha + ctgbeta }$ , jeżeli $sinalpha neq ; 0 land sinbeta neq ; 0 land sin (alpha + beta)$

$ctg (alpha - beta) = frac{ ctgalpha cdot ctgbeta + 1 }{ ctgbeta - ctgalpha }$ , jeżeli $sinalpha neq ; 0 land sinbeta neq ; 0 land sin (alpha + beta)$