Matura z matematyki - ~ Równania kwadratowe

W skrócie

Wzory na miejsca zerowe

dla $Δ > 0$ 2 miejsca zerowe: $x_1=tfrac{-b-sqrt{Delta}}{2a}, ;; x_2=tfrac{-b+sqrt{Delta}}{2a}$ ,
dla $Δ = 0$ 1 miejsce zerowe: $x_0=tfrac{-b}{2a}$ ,
dla $Δ < 0$ miejsca zerowe nie istnieją.

Metoda wyciągania wspólnego czynnika

równanie postaci np. $x 2 + x = 0$
przekształcamy do $x (x + 1) = 0$ , po czym rozwiązujemy: x=0 oraz (x+1) = 0.

Wzory skróconego mnożenia

np. $x^2+6x+9 = 0 ; ; rightarrow ;;(x+3)^2 = 0$
np. $x^2-9 = 0 ; ; rightarrow ; ;(x+3)(x-3) = 0$

Równanie dwukwadratowe

równanie postaci $ax^4 + bx^2 + c ,=, 0$ rozwiązujemy metodą podstawiania,
przy założeniu $t = x 2$ rozwiązujemy $at^2 + bt + c ;=; 0$ ,
uzyskane pierwiastki $t_{1},,t_{2},,t_{3},,t_{4}$ , które spełniają założenie (tzn. musi być t>0) są pierwiastkami równania dwukwadratowego.

Miejsca zerowe trójmianu kwadratowego

TWIERDZENIE

Dany jest trójmian kwadratowy $a x 2 + b x + c$ o współczynnikach rzeczywistych, $anot=0$ .

1. Jeżeli $Delta~> 0$ , to trójmian ten ma 2 miejsca zerowe, które oblicza się ze wzorów:

$x_1=frac{-b-sqrt{Delta}}{2a}, ;;; x_2=frac{-b+sqrt{Delta}}{2a}$

2. Jeżeli $Delta~= 0$ , to trójmian ma jedno miejsce zerowe, poprzednie wzory sprowadzają się do:

$x_0=frac{-b}{2a}$

3. Jeżeli $Delta~< 0$ , to trójmian kwadratowy nie ma miejsc zerowych w zbiorze liczb rzeczywistych.

Dowód (informacje dodatkowe)

Wyjdźmy z postaci kanonicznej trójmianu, którą już wcześniej udowodniliśmy i przyrównajmy ją do zera, aby znaleźć miejsca zerowe:

$aleft (x-pright )^2 + q = 0$

$aleft (x+frac{b}{2a}right)^2 = frac{Delta}{4a} quad : a$

$left (x+frac{b}{2a} right)^2 = frac{Delta}{4a^2}$

Przyjrzyjmy się teraz podanej postaci. Po lewej stronie mamy wyrażenie nieujemne (bo: dowolna liczba (w nawiasie) podniesiona do kwadratu da nam liczbę dodatnią). Po prawej stronie mianownik wyrażenia jest zawsze dodatni ( $4 a 2 > 0$ ). Wszystko więc zależy od licznika. Rozpatrzmy wszystkie przypadki:
1. Gdy $Δ < 0$ , to po prawej mamy wartość ujemną (iloraz dodatniej i ujemnej daje ujemną), a skoro po lewej mieliśmy wartość dodatnią - sprzeczność. Równość nie jest spełniona nigdy (w twierdzeniu: nie ma miejsc zerowych).
2. Gdy $Δ = 0$ , wyrażenie po prawej stronie przyjmuje wartość zero, otrzymujemy:

$left (x+frac{b}{2a} right )^2 = 0$ / Pierwiastkujemy obustronnie $x = frac{-b}{2a}$
Jest to nasze miejsce zerowe. Zwróć uwagę, że jest to współrzędna wierzchołka paraboli funkcji (dlaczego?).
3. Gdy

Δ > 0

, otrzymujemy:
$left (x+frac{b}{2a} right )^2 = frac{Delta}{4a^2}$ / Pierwiastkujemy obustronnie i korzystamy z $sqrt{x^2} = |x|$ $|x+frac{b}{2a}| = frac{sqrt{Delta}}{2a}$
Rozwiązujemy równanie z wartością bezwzględną:

Przypadek 1: dla $x+frac{b}{2a} > 0$ - opuszczamy moduł bez zmiany znaku. $x_{1}+frac{b}{2a} = frac{sqrt{Delta}}{2a}$

$x_{1} = frac{sqrt{Delta}}{2a} - frac{b}{2a}$

$x_{1} = frac{sqrt{Delta} - b}{2a} ; = frac{-b + sqrt{Delta}}{2a}$

Przypadek 2: dla $x+frac{b}{2a} < 0$ - opuszczamy moduł ze zmianą znaku: $-x_{2}-frac{b}{2a} = frac{sqrt{Delta}}{2a}$

$x_{2} = -frac{b}{2a} - frac{sqrt{Delta}}{2a}$
$x_{2} = frac{-b - sqrt{Delta}}{2a}$
Tak więc, dla

Δ > 0

rozwiązaniami są $x_{1} = tfrac{-b + sqrt{Delta}}{2a}$ oraz $x_{2} = tfrac{-b - sqrt{Delta}}{2a}$ .

Przykłady - równania kwadratowe

Rozwiąż równania:

Przykład 1. $x 2 - 3 x - 4 = 0$
Przykład 2. $x 2 - 4 = 0$
Przykład 3. $x 2 - 6 x + 9 = 0$
Przykład 4. $x 2 - 2 x = 3 x + 5$
Przykład 5. $- x 2 - 2 x = 0$
Przykład 6. $x 2 - 5 x + 22 = 0$
Przykład 7. $x 4 - 3 x 2 + 4 = 0$ (równanie dwukwadratowe)
Przykład 8. $x 2 + 6 x - 7 = 0$
Przykład 9. $x 2 - 4 | x | - 12 = 0$ (równanie z modułem)

Przykład 1

$x 2 - 3 x - 4 = 0$

Każde równanie kwadratowe można rozwiązać wykorzystując wyróżnik trójmianu kwadratowego. W powyższym przykładzie współczynniki a, b oraz c wynoszą: $a = 1,; b = -3,; c = -4$ .

$Delta~= b^2 - 4ac$

$Delta~ = (-3)^{2} - 4 cdot 1 cdot (-4)$

$Delta~ = 25$

Teraz, gdy już wyliczyliśmy deltę, korzystamy ze wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego (miejsca zerowe).

$x_1=tfrac{-b-sqrt{Delta}}{2a}$

$x_1=frac{-(-3)-sqrt{25}}{2 cdot 1}$

$x_1=frac{3-5}{2} ;= -1$

$x_2=tfrac{-b+sqrt{Delta}}{2a}$

$x_2=frac{-(-3)+sqrt{25}}{2 cdot 1}$

$x_2=frac{3+5}{2} ; =4$

Równanie ma więc dwa rozwiązania: $x_{1}=-1$ i $x_{2}=4$ .

Przykład 2

$x 2 - 4 = 0$

Powyższe równanie można również rozwiązać przy użyciu delty, gdzie $a = 1, b = 0, c = - 4$ . Aby jednak pokazać inne metody liczenia pierwiastków trójmianu, skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

$a^{2} - b^{2} = (a-b) cdot (a+b)$

Korzystamy z niego i zamieniamy trójmian $x 2 - 4 = 0$ na postać iloczynową:

$(x-2) cdot (x+2) = 0$

Z tego miejsca już możemy zobaczyć pierwiastki (miejsca zerowe). Jeśli zamiast x podstawimy 2 lub -2, równanie się wyzeruje (sprawdź!). Więc rozwiązaniami są: 2 oraz -2.

Przykład 3

$x 2 - 6 x + 9 = 0$

Powyższe równanie rozwiążemy dwoma sposobami. Przez deltę oraz przez wzór skróconego mnożenia.

Pierwszy sposób - przez deltę:

$a = 1, ; b=-6, ; c=9$

$Delta~= (-6)^2 - 4 cdot 1 cdot 9$

$Delta~= 36 - 36 ; =0$

Delta jest równa zeru, więc równanie ma jedno rozwiązanie:

$x_{1} = frac{-b}{2a}$

$x_{1} = frac{-(-6)}{2} ; =3$

Drugi sposób - przez wzór skróconego mnożenia:

$(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$

Przyrównujemy w myślach $x 2 - 6 x + 9 = 0$ i $a^{2} - 2ab + b^{2}$ ...
$(x - 3) 2 = x 2 - 2 * 1 * 3 + 3 2$

Otrzymujemy:

$(x-3)^{2} = 0$

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, widzimy miejsca zerowe. Jeśli podstawimy za x cyfrę 3, równanie się wyzeruje. Rozwiązaniem jest więc 3.

Uwaga: rozwiązywanie metodą wzorów skróconego mnożenia ma przydatną zaletę - przyspiesza obliczanie miejsc zerowych, można je niemal znajdować 'w pamięci'. Niestety, nie wszystkie równania dają się rozwiązać tym sposobem (wówczas trzeba wrócić do rozwiązywania z użyciem delty).

Przykład 4

$x 2 - 2 x = 3 x + 5$

Najpierw przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę (aby mieć 0 po drugiej stronie) i je redukujemy:

$x 2 - 5 x - 5 = 0$

$a = 1, ; b=-5, ; c=-5$

$Delta~= (-5)^2 - 4 cdot 1 cdot (-5) ; = 45$

$x_{1}=tfrac{-(-5)-sqrt{45}}{2}$

$x_{1}=tfrac{5-3sqrt{5}}{2} ; = ; tfrac{5}{2} - tfrac{3}{2}sqrt{5}$

$x_{2}=tfrac{-(-5)+sqrt{45}}{2}$

$x_{2}=tfrac{5+3sqrt{5}}{2} ; = ; tfrac{5}{2} + tfrac{3}{2}sqrt{5}$

Rozwiązaniami tego równania są liczby $x_{1}=tfrac{5}{2} - tfrac{3}{2}sqrt{5}, ; ; ; x_{2}=tfrac{5}{2} + tfrac{3}{2}sqrt{5}$

Przykład 5

$- x 2 - 2 x = 0$

Powyższy przykład rozwiążemy poprzez wyciągnięcie wspólnego czynnika przed nawias:

$(-x^{2}-2x)=0$

$x(-x-2)=0$

Powyższe równanie zachodzi gdy:</br $x = 0$ lub $- x - 2 = 0$

Udało się nam więc wyznaczyć rozwiązania wyciągając x przed nawias i uzyskując 2 równania liniowe (których rozwiązania są rozwiązaniami naszego przykładu). Pierwiastkami są więc liczby 0 oraz -2. Uwaga: powyższy sposób rozumowania będzie niezbędny do rozkładania niektórych wielomianów na czynniki pierwsze. Taki sposób skraca także czas liczenia pierwiastków.

Przykład 6

$x 2 - 5 x + 22 = 0$

Policzmy deltę:

$a = 1, b = - 5, c = 22$

$Delta~= (-5)^{2} - 4 cdot 1 cdot 22$

$Delta~= 25 - 88 ; = -63$

Wystarczy zauważyć, że $Delta~<0$ - równanie nie ma więc rozwiązań.

Przykład 7

$x 4 - 3 x 2 - 4 = 0$

Powyższe równanie jest równaniem stopnia czwartego i jest nazywane równaniem dwukwadratowym. Można je rozwiązać poprzez wstawienie pomocniczej zmiennej t.

$t = x^{2}$

Po podstawieniu otrzymamy następujące wyrażenie:

$t^{2}-3t-4=0$

Tym sposobem, możemy rozwiązać pomocnicze równanie kwadratowe, a jego pierwiastki (o ile będą spełniały przyjęte założenie) będą też pierwiastkami równania dwukwadratowego.

Dalej rozwiązujemy, wyznaczając pierwiastki $t_{1}$ oraz $t_{2}$ .

$Delta~= (-3)^{2} - 4 cdot 1 cdot (-4) ; = 25$

$t_{1}=frac{-(-3)-sqrt{25}}{2} ; = -1$

$t_{2}=frac{-(-3)+sqrt{25}}{2} ; = 4$

Wyliczyliśmy wartości zmiennych pomocniczych. Jednak mamy policzyć wartość x. Wróćmy więc do równania (a jednośnie naszego założenia):

$t = x^{2}$

Jeśli podstawimy obliczone wcześniej wartości, będziemy w stanie policzyć x.

Najpierw, dla t=-1

$-1 = x^{2}$

Otrzymaliśmy następna funkcję kwadratową, która musimy rozwiązać by obliczyć wartość x.

$x^{2}+1=0$

Powyższe równanie nie ma pierwiastków, ponieważ $Delta~<0$ Zauważmy, że samo równanie $-1 = x^{2}$ jest sprzeczne - wartość podniesiona do kwadratu nigdy nie będzie liczbą ujemną.

Podstawmy więc drugą wartość t równą 4.

$4 = x^{2}$

$x^{2}-4=0$

Korzystamy z wzorów skr. mnożenia i otrzymujemy $(x-2)(x+2)=0$

Równanie ma dwa rozwiązania: $x 1 = 2$ i $x 2 = - 2$ (patrz na przykład nr.2).

Po obliczeniu pierwiastków $x 1$ i $x 2$ dochodzimy do wniosku, że całe równanie ma tylko dwa rozwiązania chociaż równanie stopnia czwartego może mieć tych rozwiązań 4. Bardzo ważną rzeczą jest to, że rozwiązania t ujemne nie spełniają równania. Dlatego też przy stawianiu założenia $t = x^{2}$ można dodać warunek $t ge 0$ . Warunek ten sam wyjdzie podczas podstawiania wartości t (tak jak w przykładzie), jednak taki sposób jest wygodniejszy. Można więc powiedzieć, że równanie dwukwadratowe będzie miało 4 pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy po podstawieniu zmiennej pomocniczej otrzymamy 2 pierwiastki dodatnie.

Przykład 8

$x 2 + 6 x - 7 = 0$

Ten przykład zrobimy dosyć nietypowym sposobem. Pomimo, że nie można tutaj zastosować bezpośrednio wzoru skróconego mnożenia to użyjemy go - w "sprytny" sposób.

$x 2 + 6 x - 7 = 0$ (*) - Podane wyrażenie oznaczamy jako (*) w celu uzyskania większej czytelności.

"Zwińmy" to wyrażenie za pomocą wzoru:

$(x + 3) 2 = 0$ (**)

Powyższe wyrażenie nie jest równoważne wyrażeniu pierwotnemu (*). Po podniesieniu do potęgi otrzymamy bowiem: $(x + 3) 2 = x 2 + 6 x + 9$ . Uparcie chcemy jednak przejść z (*) do (**), aby jednak postawić znak równości, trzeba jedno z nich "wyrównać".

Skoro mamy otrzymać $x 2 + 6 x - 7$ , to odejmijmy 16 od równania (**) - żeby "przywrócić równowagę": $(x + 3) 2 - 16$

Popatrzmy na to teraz: Po podniesieniu do potęgi i odjęciu 16 otrzymamy $x 2 + 6 x - 7 = 0$ . Jest to przecież nasze pierwsze równanie, (*). Czyli, można powiedzieć, że "zwinęliśmy", a następnie "wyrównaliśmy" to wyrażenie (zwróć uwagę, że jest to postać kanoniczna funkcji!).
Możemy więc zapisać: $x 2 + 6 x - 7 = (x + 3) 2 - 16$ .
Teraz po kolei liczymy:

$(x + 3) 2 - 16 = 0$

$(x + 3) 2 = 16$ / Pierwiastkujemy obustronnie

$sqrt{(x+3)^2} = sqrt{16}$

$sqrt{(x+3)^2} = 4$

Korzystamy z własności: $sqrt{x^2} = |x|$ , po czym zostaje nam obliczyć równanie z wart. bezwzględną.

$| x + 3 | = 4$

$x_{1} = -7, ; ; x_{2} = 1$

W ten sposób policzyliśmy pierwiastki równania w nieco nietypowy sposób. Oczywiście, można przecież wszystko wyliczyć przez deltę, jednak taki sposób bardzo rozwija umiejętność rachowania. Pozwala także zrozumieć "naturę" funkcji kwadratowej oraz rozwija w nas umiejętność logicznego stosowania wzorów skróconego mnożenia. (umiejętności te mogą być przydatne przy rozwiązywaniu równań wielomianowych itd.)

Przykład 9

$x^2 - 4|x| - 12 ;=; 0$