Matura z matematyki - ~Miara łukowa kąta

Miara łukowa kąta

Narysujmy okrąg o promieniu r, a na nim zaznaczmy łuk L, dla którego kąt środkowy oparty o ten łuk będzie wynosił $60^circ$ . Znajdźmy wzór na długość tego łuku.

Intuicyjnie długość łuku do obwodu okręgu jest równa mierze kąta w stopniach do $360^circ$ :

$frac{L}{mbox{Ob}}=frac{60^circ}{360^circ}$

ponieważ $Ob = 2π r$ , otrzymujemy:

$frac{L}{2pi r}=frac{60^circ}{360^circ}$

zatem:

$L=frac{2pi cdot 60^circ r}{360^circ}=left(frac{2pi cdot 60^circ}{360^circ}right) r$

Jak łatwo zauważyć wartość $left(frac{2pi 60^circ}{360^circ}right)$ nie zależy od promienia naszego okręgu, tylko od kąta, który tworzy nasz łuk. Wartość ta nazywana jest miarą łukową kąta dla kąta $60^circ$ . W ogólności wzór na długość łuku wyznaczonego przez kąt $varphi_circ$ (wyznaczonego w stopniach) przybierze postać:

$L=left(frac{2pi varphi_circ}{360^circ}right) r=left(frac{pi varphi_circ}{180^circ}right) r$

Tak jak długość nie musi wyrażać się w metrach, tak też kąt nie musi wyrażać się w stopniach. Możemy wykorzystać inną jednostkę kąta, jakim jest radian. Wtedy wartość kąta jest wyrażana w tzw. mierze łukowej. Załóżmy, że kąt $varphi_circ$ jest wyrażony w stopniach, $varphi$ w radianach, wówczas wartości tych kątów wiąże zależność:

$varphi=frac{pi varphi_circ}{180^circ}$

Jednostką miary łukowej jest radian, który w skrócie zapisywany jest przez rad. Często przy podawaniu kąta wyrażonego w mierze łukowej pomija się jednostkę np. zamiast $frac{pi}{2}mbox{ rad}$ pisze się po prostu $frac{pi}{2}$ .

Powróćmy znowu do wzoru na długość łuku l, jednak tym razem jednak załóżmy, że kąt na którym jest oparty łuk jest wyrażony w radianach i wynosi $α$ . Wówczas wykorzystując zależność $alpha=frac{2pi cdot alpha_circ}{180^circ}$ otrzymujemy zależność:

$L=frac{2pi cdot alpha_circ}{180^circ} r=alpha r$

dzieląc obustronnie przez r otrzymujemy:
$frac{L}{r}=alpha$

DEFINICJA

Miarą łukową kąta nazywamy stosunek długości łuku do długości promienia. Jest ona równa kątowi $α$ , który wyznacza ten łuk:

$alpha=frac{L}{r}$

Jednostką miary łukowej jest radian.

Ten drugi wzór jest o wiele łatwiejszy do zapamiętania.

Zauważmy, że miara kąta pełnego wyrażonego w stopniach wynosi $360^circ$ , a w radianach $frac{pi cdot 360^circ}{180^circ}mbox{ rad}=2pimbox{ rad}$ . Zatem: