Definicja okrągu dziewięciu punktów

W dowolnym trójkącie ABC środki boków K, L i M, spodki wysokości D, E i F oraz środki odcinków łączących ortocentrum tego trójkąta H (punkt przecięcia wysokości) z jego wierzchołkami - punkty X, Y i Z leżą na jednym okręgu

Okrąg ten nazywamy jako okrąg dziewięciu punktów lub okrąg Feuerbacha.

Aby narysować okrąg dziewięciu punktów należy:

• zaznaczyć dowolne 3 punkty (A,B,C), które łączymy ze sobą rysując trójkąt ABC
• na każdym boku zaznaczamy punkty środkowe K, L, M.
• z wierzchołka C wyznaczamy wysokość na bok AB. Punkt rzutu prostokątnego z wierzchołka C na prostą zawierającą przeciwległy bok oznaczamy literą D.

• czworokąt KDLM jest trapezem równoramiennym, a jak wiemy na każdym trapezie równoramiennym da się opisać okrąg, więc punkty K, D, L, M, leżą na tym samym okręgu.
• z wierzchołka A wyznaczamy wysokość na bok BC (punkt rzutu prostokątnego z wierzchołka A na prostą zawierającą przeciwległy bok oznaczamy literą E) i z wierzchołka B wyznaczamy wysokość na bok AC (punkt rzutu prostokątnego z wierzchołka B na prostą zawierającą przeciwległy bok oznaczamy literą F), ich rzuty będą również leżały na tym samym okręgu.

• zaznaczamy środek odcinka łączącego ortocentrum H z wierzchołkiem A i oznaczamy jako X, środek odcinka łączącego ortocentrum H z wierzchołkiem B i oznaczamy jako Y, środek odcinka łączącego ortocentrum H z wierzchołkiem C i oznaczamy jako Z.

W ten sposób otrzymujemy okrąg  9 - ciu punktów.

Objaśnienia:

Spodkiem wysokości nazywamy, punkt wspólny wysokości i prostej zawierającej odpowiedni bok trójkąta.