Matura z matematyki - ~Równania trygonometryczne

Równania trygonometryczne

Równaniem trygonometrycznym będziemy nazywać równanie, w którym niewiadoma występuje tylko w wyrażeniach będących argumentem funkcji trygonometrycznej. Przykładami równań trygonometrycznych mogą być:

$sin x=-frac{1}{2}$
$cos^2 x + sin x=-frac{1}{2}$
$t g x = 100$

TWIERDZENIE

Równanie postaci $sin x = a$ ma nieskończenie wiele rozwiązań, przy założeniu, że $a in [-1;1]$ :

$x = x 0 + 2 k π$
lub $x = π - x 0 + 2 k π$ , gdzie $k in mathbb{Z}$ i $sin x 0 = a$

Równanie postaci $cos x = a$ ma nieskończenie wiele rozwiązań, przy założeniu, że $a in [-1;1]$ :

$x = x 0 + 2 k π$
lub $x = - x 0 + 2 k π$ , gdzie $k in mathbb{Z}$ i $cos x 0 = a$

Równanie postaci $t g x = a$ ma nieskończenie wiele rozwiązań:

$x = x 0 + k π$ , gdzie $k in mathbb{Z}$ i $t g x 0 = a$

Równanie postaci $c t g x = a$ ma nieskończenie wiele rozwiązań:

$x = x 0 + k π$ , gdzie $k in mathbb{Z}$ i $c t g x 0 = a$

Przykład 1. Rozwiążmy równanie $sin x={1 over 2}$ :

Ponieważ ${1 over 2}=sin frac{pi}{6}$ , więc $x_0=frac{pi}{6}$

Stąd mamy:

$x=x_0+2kpi={pi over 6}+2kpi$

lub $x=pi-x_0+2kpi=left(pi - {pi over 6}right)+2kpi$ , gdzie $k in mathbb{Z}$

Odp. Rozwiązaniem równania są liczby postaci: $x={pi over 6}+2kpi$ lub $x={5pi over 6}+2kpi$ , $k in mathbb{Z}$ .

Przykład 2. Rozwiążmy równanie $cos x=-{sqrt{3} over 2}$ :

$cos x=-{sqrt{3} over 2}=cosfrac{4pi}{3}$

Zatem:

$x=frac{4pi}{3}+2kpi$ lub $x=-frac{4pi}{3}+2kpi$ , gdzie $k in mathbb{Z}$

Odp. Rozwiązaniem równania są liczby postaci: $x=frac{4pi}{3}+2kpi$ lub $x=-frac{4pi}{3}+2kpi$ , $k in mathbb{Z}$ .

Przykład 3. Rozwiążmy równanie $t g x = - 1$ :

$tg x=-1=tg(-{pi over 4})$

Zatem:

$x=-{pi over 4}+kpi$ , gdzie $k in mathbb{Z}$

Odp. Rozwiązaniem równania są liczby postaci: $x=-{pi over 4}+kpi$ , $k in mathbb{Z}$ .