DEFINICJA
Nierównością wielomianową nazywamy nierówność postaci:
gdzie
jest wielomianem zmiennej
.
Aby rozwiązać nierówność wielomianową należy znaleźć zbiór jej rozwiązań, rozkładając jej lewą stronę na czynniki liniowe lub czynniki nierozkładalne.
Sposoby rozwiązywania nierówności wielomianowych
Metoda alternatywy
Polega na znajdowaniu rozwiązań wykorzystując własności iloczynu. Znak iloczynu zależy od znaków jego czynników.
Przykład
Rozwiążmy nierówność
metodą siatki znaków.
Rysujemy tabelę i uzupełniamy ją następująco:
 |
w pierwszej kolumnie począwszy od drugiej rubryki wpisujemy pierwiastki wielomianu, np.  , a w ostatniej kratce  , |
|
w pierwszym rzędzie, począwszy od drugiej rubryki wpisujemy przedziały, na jakie została podzielona oś liczbowa,
|
|
wpisujemy odpowiednie znaki czynników w rozpatrywanych przedziałach,
|
|
w ostatnim rzędzie zapisujemy znak wielomianu w tym przedziale, mnożąc kolejne znaki przez siebie,
|
|
odczytujemy odpowiednie przedziały z ostatniego rządu w zależności od znaku danej nierówności.
|
Drugi rząd:
jest ujemne dla
, równe zeru dla
i większe od zera dla wszystkich pozostałych wartości.
Trzeci rząd:
jest ujemne dla
, równe zeru dla
i większe od zera dla wszystkich pozostałych wartości.
itd.
Na podstawie ostatniego rzędu doczytujemy wszystkie przedziały oznaczone znaczkiem
, ponieważ rozwiązaniem nierówności jest przedział, w którym wartości mają być ujemne.
Wobec tego:
Metoda graficzna
Polega na narysowaniu wykresu funkcji i odczytaniu z niego odpowiednich przedziałów.
Aby narysować wykres funkcji musimy lewą stronę nierówności przedstawić w postaci czynników liniowych lub czynników nierozkładalnych,
Wykresy funkcji wyższych stopni rysujemy według sposobu:
|
zaznaczamy na osi  miejsca zerowe funkcji, |
|
zawsze zaczynamy rysować wykres od lewej strony,
|
|
jeżeli po wymnożeniu wszystkich czynników otrzymujemy stopień parzysty i współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, zaczynamy rysować wykres od lewej strony z góry,
|
|
jeżeli po wymnożeniu wszystkich czynników otrzymujemy stopień parzysty i współczynnik przy najwyższej potędze jest ujemny, zaczynamy rysować wykres od lewej strony z dołu,
|
|
jeżeli po wymnożeniu wszystkich czynników otrzymujemy stopień nieparzysty i współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni, zaczynamy rysować wykres od lewej strony z dołu,
|
|
jeżeli po wymnożeniu wszystkich czynników otrzymujemy stopień nieparzysty i współczynnik przy najwyższej potędze jest ujemny, zaczynamy rysować wykres od lewej strony z góry,
|
|
jeżeli pierwiastek jest parzystokrotny, wykres nie przecina osi i "odbija się" od tego punktu,
|
|
jeżeli pierwiastek jest nieparzystokrotny, wykres przecina oś w tym punkcie,
|
Przykład
Rozwiążmy nierówność
metodą graficzną.
Rysujemy wykres funkcji
i odczytujemy przedziały, dla których funkcja przybiera wartości dodatnie.
Rysowanie zaczynamy od lewej strony z dołu, ponieważ najwyższa potęga wyrosi
, a współczynnik jest większy do zera.
Funkcja przybiera wartości dodatnie dla
Wobec tego:
Przykład
Rozwiążmy nierówność
metodą graficzną.
Rysujemy wykres funkcji
zaczynając od lewej strony z góry, ponieważ najwyższa potęga wynosi
, a współczynnik jest większy od zera. Trzeba jednak pamiętać, że od pierwiastków parzystokrotnych wykres "odbija się".
W tym przypadku
jest pierwiastkiem 2-krotnym, więc wykres "odbije się", natomiast
jest pierwiastkiem 3-krotnym, co nie wpływa na kształt wykresu.
Funkcja przybiera wartości ujemne dla
Wobec tego:
metodą alternatywy.
na dwie dowolne części, np. 
oraz 
.
