Matura z matematyki - ~ Miejsca zerowe funkcji

DEFINICJA

Miejscem zerowym funkcji nazywamy taki argument, dla którego wartość funkcji jest równa 0 (czyli $f (x) = 0$ ).

Na wykresie funkcji f miejscami zerowymi będą miejsca przecięcia wykresu funkcji z osią OX.

Przykład 1

Funkcja $f (x) = x + 2$ ma jedno miejsce zerowe dla $x = - 2$ . Możemy to zaobserwować na wykresie albo rozwiązać równanie $f (x) = 0$ :

x + 2 = 0

x = - 2

Nie wszystkie funkcje posiadają miejsca zerowe. Pokazuje nam to kolejny przykład.

Przykład 2

Funkcja $f (x) = x + 3$ , gdzie $D_f=(-2;+infty)$ nie posiada miejsc zerowych. Widać to na wykresie:

Możemy również sprawdzić to algebraicznie:

$begin{cases} x+3=0 x in (-2;+infty) end{cases} iff begin{cases} x=-3 x in (-2;+infty) end{cases} iff x in emptyset$

Przykład 3

Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji $f (x) = 2(x - 2)(x + 3)$ .

$f(x) = 0 iff 2(x - 2)(x + 3) = 0$

możemy obustronnie dzielić przez 2 i otrzymujemy

$(x-2)(x+3) = 0 iff (x - 2 = 0 or x + 3 = 0) iff (x = 2 or x=-3)$

Zatem $f(x) = 0 iff x in {-3, 2}$ .

Przykład 4

Znajdźmy wszystkie x dla których $f (x) = 0$ , a $f (x) = 9 - x 2$ . Czyli:

$f(x) = 0 iff 9 - x^2=0$

x 2 - 9 = 0

Korzystając, ze wzorów skróconego mnożenia

(x - a)(x + a) = x 2 - a 2

otrzymujemy:

(x - 3)(x + 3) = 0

, czyli

x - 3 = 0

lub

x + 3 = 0

Zatem $f (x) = 0$ , gdy $x = 3$ lub $x = - 3$ .

Przykład 5

Wyznaczmy miejsca zerowe funkcji $f(x) = left|x+1right| + |x-3| - 4$ .

Dla $x < - 1$ (czyli $x + 1 < 0$ ), funkcję $f$ można wyrażać jako $f (x) = - (x + 1) + ( - (x - 3)) - 4 = - 2 x - 2$ . Ta funkcja nie ma miejsc zerowych w zbiorze ${x : x < - 1}$ .

Dla $x > 3$ (czyli $x - 3 > 0$ ), funkcję $f$ można wyrażać jako $f (x) = (x + 1) + (x - 3) - 4 = 2 x - 6$ . Ta funkcja nie ma miejsc zerowych w zbiorze ${x : x > 3}$ .

Dla $-1le x le 3$ (czyli $x+1ge 0$ i $x-3 le 0$ . funkcja $f (x) = (x + 1) + ( - (x - 3)) - 4 = 0$ jest stała z wartością 0.

Zatem $f (x) = 0$ , gdy $-1le x le 3$ .