Matura z matematyki - ~ Potęga o wykładniku wymiernym

DEFINICJA
Potęgę o podstawie $a geq 0$ i wykładniku $mathbf{1 over n}$ określamy wzorem:

$a^{frac{1}{n}}=sqrt[n]{a} mbox{ dla } n in mathbb{N} backslash {0,1} mbox{ i } a geq 0$

PRZYKŁADY:

$4^frac{1}{2} = sqrt{4}=2$ ,
$25^frac{1}{4} = sqrt[4]{25} = sqrt[2 cdot 2]{25} = sqrt{sqrt{25}} = sqrt{5}$ ,
$27^frac{1}{3}= sqrt[3]{27}=3$ .

Nie wiemy, co oznacza $(-9)^tfrac{1}{2}$ , czy też $(-27)^tfrac{1}{3}$ . Co prawda $sqrt[3]{-27} = -3$ , ale wartość $(-27)^tfrac{1}{3}$ pozostawimy niezdefiniowaną.

DEFINICJA
Potęgę o podstawie $a geq 0$ i wykładniku wymiernym określamy wzorem: $a^{frac{m}{n}}=left(sqrt[n]{a}right)^m mbox{ dla } a geq 0,~n in mathbb{N} backslash {0,1} mbox{ i } m in mathbb{N_+}.$
$a^{-frac{m}{n}}=frac{1}{a^frac{m}{n}} mbox{ dla } a geq 0,~n in mathbb{N} backslash {0,1} mbox{ i } m in mathbb{N_+}.$

PRZYKŁADY:

$4^tfrac{3}{2} = sqrt{4}^3 = 2^3 = 8$ ,

$81^tfrac{3}{4} = sqrt[4]{81}^3 = 3^3 = 27$

$27^tfrac{2}{3} = sqrt[3]{27}^2 = 3^2 = 9$

Dla potęg zachodzą poniższe własności:

TWIERDZENIE
Jeśli m i n są liczbami rzeczywistymi, a i b liczbami rzeczywistymi większymi od 0, to:

$a^n sdot a^m=a^{n+m}$ ,
$frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$ ,
$left(a^nright)^m=a^{n sdot m}$ ,
$(a sdot b)^n=a^n sdot b^n$ ,
$left( frac{a}{b} right)^n={a^n over b^n}$ .

Powyższe prawa możemy wykorzystać, aby policzyć na przykład:

$5^{30{,}5} cdot 5^{-28{,}5} = 5^{30{,}5-28{,}5} = 5^2 = 25$ ,
$frac{16^{3{,}75}}{16^4} = 16^{3{,}75-4} = 16^{-0{,}25} = frac{1}{16^{0{,}25}} = frac{1}{sqrt[4]{16}} = frac{1}{2}$ ,
$2^{sqrt{2} - 1} cdot 2^{3 - sqrt{2}} = 2^{sqrt{2} - 1 + 3 - sqrt{2}} = 2^2 = 4$ .