Matura z matematyki - ~ Układ równań z dwiema niewiadomymi

Układ równań z dwiema niewiadomymi, jak sama nazwa wskazuje, jest to układ równań, gdzie mamy dwie niewiadome np. x i y.

Spójrzmy na kilka przykładów układów równań:

$left{begin{matrix} 2x + 1 = 3y x - 5 = y end{matrix} right.$ (1)
$left{begin{matrix} -3x - 6y + 4 = 0 5x - 5 = y end{matrix} right.$ (2)
$left{begin{matrix} frac{1}{2}x + 2 = 3y + x 5y - 4x - 5 = y end{matrix} right.$ (3)

Rozwiążmy jak zwykle każdy z tych przykładów.

Mamy wiele możliwości rozwiązywania takich równań.

Pierwsza metoda polega na wyznaczeniu pewnej zmiennej z jednego równania i wstawieniu do drugiego. Rozwiążmy w ten sposób równanie (1):

$left{begin{matrix} 2x + 1 = 3y & (1.1) x - 5 = y & (1.2) end{matrix} right.$

Najpierw wyznaczymy x z (1.1), czyli:

2 x + 1 = 3 y

$2x = 3y - 1 /{:} 2$

$x = frac{3}{2}y - frac{1}{2}$ (1.2')

i możemy podstawić do (1.2). Otrzymujemy:

$frac{3}{2}y - frac{1}{2} - 5 = y$

$frac{3}{2}y - 5frac{1}{2} = y$

$frac{3}{2}y - y = 5frac{1}{2}$

$frac{1}{2}y = 5frac{1}{2} /{cdot} 2$

y = 11

Mamy już y. Teraz wystarczy do (1.2') podstawić znaleziony y, więc:

$x = frac{3}{2} cdot 11 - frac{1}{2} = frac{33}{2} - frac{1}{2} = frac{32}{2} = 16$ .

Odp. $x = 16$ i $y = 11$ .