Matura z matematyki - ~ Funkcja i jej własności

Pojęcie funkcji

Zanim zaznajomimy się z formalną definicją funkcji, poznajmy kilka przykładów funkcji:

Przykład 1

Ucząc się słów z języka angielskiego i ich polskich odpowiedników mamy do czynienia ze swoistą funkcją. Na przykład słysząc dog myślimy pies, słysząc cow - krowa, a horse - koń. Podobne „zjawisko” występuje w matematyce. Moglibyśmy zapisać f(dog)=pies, f(cow)=krowa, f(horse)=koń (choć być może taki zapis niektórym nie przypadłby do gustu). Wówczas funkcja f byłaby odwzorowaniem, która pewnemu wyrazowi angielskiemu przyporządkowuje wyraz z języka polskiego. Matematycznie moglibyśmy zapisać tak $fcolon S_{angielski} to S_{polski}$ , gdzie $S a n g i e l s k i$ to zbiór angielskich słówek i analogicznie $S p o l s k i$ - zbiór polskich słówek.
Przykład 2

Każdej osobie w pewnej klasie jest przyporządkowany pewien numer z dziennika.
Przykład 3

Każdej liczbie możemy przyporządkować jej trzykrotność.

Podając te przykłady pominęliśmy jeden ważny warunek, aby pewne przyporządkowanie było funkcją. Otóż każdemu elementowi z jednego zbioru przyporządkowujemy dokładnie jeden element z drugiego. Co to oznacza? Odwołując się do naszego pierwszego przykładu, dla pewnego słówka (elementu) ze zbioru $S a n g i e l s k i$ (zbiór angielskich słówek) musimy wybrać dokładnie jedno słówko z $S p o l s k i$ (zbiór polskich słówek), czyli musielibyśmy założyć, że istnieje dokładnie jedno tłumaczenie pewnego słówka z języka angielskiego na język polski. Spójrzmy teraz na definicję funkcji:

DEFINICJA

Funkcją f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy takie odwzorowanie, w którym każdemu elementowi ze zbioru X został przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru Y. Taką funkcję oznaczamy przez $f colon X to Y$ .

Zbiór X jest nazywany dziedziną funkcji, a zbiór Y przeciwdziedziną.

W przykładzie pierwszym dziedziną funkcji jest $S a n g i e l s k i$ , a przeciwdziedziną $S p o l s k i$ .

DEFINICJA

Zbiór wartości funkcji jest to zbiór tych wszystkich y, które funkcja przyjmuje jako swoje wartości.

Przykład 4.

Każdej liczbie całkowitej możemy przyporządkować liczbę przeciwną do niej. W tym przypadku dziedziną jest zbiór liczb całkowitych – $X=mathbb{Z}$ , a przeciwdziedziną także zbiór liczb całkowitych – $Y=mathbb{Z}$ .

$f colon mathbb{Z} to mathbb{Z}$

Przykład 5.

Zobaczmy na poniższy graf przedstawiający pewną funkcję.

Łatwo zauważyć, że dziedziną jest $X = { - 1,0,1,2,3}$ a przeciwdziedziną jest zbiór $Y = {0,1,3,4,5,6,9}$ . Zbiorem wartości tej funkcji jest $Z W f = {0,1,4,9}$ , są to te elementy ze zbioru Y, które zostały połączone strzałką. Każdemu elementowi ze zbioru X musi zostać przyporządkowany dokładnie jeden element, dlatego wszystkie elementy ze zbioru X muszą być początkiem dokładnie jednej strzałki, ale nie na wszystkie elementy ze zbioru Y muszą być połączone z grotą pewnej strzały np. w tym przykładzie 5,6 i 3. Z grafu widzimy, że: $f ( - 1) = 1$ , $f (0) = 0$ , $f (1) = 1$ , $f (2) = 4$ i $f (3) = 9$ . Nie możemy nic powiedzieć o wartości funkcji f(6) czy też f(-2), ponieważ liczba 6 ani -2 nie należy do dziedziny funkcji, dlatego też dla tych wartości funkcja nie jest zdefiniowana.

Przykład 6.

Dziedziną funkcji jest zbiór $X = {1,2,3,4,5}$ , a przeciwdziedziną jest zbiór różnych kolorowych figur. Zbiorem wartości $Z W$ tej funkcji jest zbiór zawierający niebieską i pomarańczową gwiazdę, trójkąt, a także prostokąt.

Przykład 7.

Nie każde odwzorowanie jest funkcją:

Graf ten nie przedstawia funkcji, ponieważ element d ze zbioru X jest połączony nie z jednym, tylko z dwoma elementami ze zbioru Y – z elementem g i h.