Matura z matematyki - ~Funkcje trygonometryczne kąta dowolnego

Miara kąta skierowanego na płaszczyźnie zorientowanej

DEFINICJA

Kąt skierowany - jest to uporządkowana para półprostych o wspólnym początku; pierwsza półprosta - ramię początkowe, druga półprosta - ramię końcowe.

Przykład kąta skierowanego

Ramieniem początkowym kąta

α

jest półprosta wyróżniona na niebiesko, a ramieniem końcowym półprosta koloru czerwonego.

DEFINICJA

Płaszczyzna zorientowana - jest to taka płaszczyzna na której określono bieg dodatni dla każdego okręgu.


Przykład płaszczyzna zorientowana 1: Układ współrzędnych zorientowany dodatnio.	Przykład płaszczyzna zorientowana 2: Układ współrzędnych zorientowany ujemnie.

Kątowi skierowanemu $overrightarrow {AOB}$ na płaszczyźnie zorientowanej przyporządkowujemy ten kąt nieskierowany AOB (wypukły lub wklęsły) w którym leży łuk o początku w punkcie L i końcu w punkcie K, mający zwrot dodatni.

Funkcje trygonometryczne kąta skierowanego

DEFINICJA

{{{1}}}

Przykład 1.

Niech ramię początkowe kąta $α$ pokrywa się z dodatnią półosią OX, a ramię końcowe przechodzi przez punkt $P (3,1)$ . Wyznaczmy wartości funkcji sinus, cosinus, tangens i cotangens dla tego kąta. Ponieważ wartości funkcji trygonometrycznych nie zależą od wyboru punktu należącego do końcowego ramienia kąta, zatem możemy wykorzystać do tego współrzędne punktu $P (3,1)$ :

$sinalpha={y over r}={1 over sqrt{1^2+3^2}}={1 over sqrt{10}}={sqrt{10} over 10}$
$cosalpha={x over r}={3 over sqrt{1^2+3^2}}={3 over sqrt{10}}={3sqrt{10} over 10}$
$tg alpha={y over x}={1 over 3}$
$ctg alpha={x over y}={3 over 1}=3$

Mówimy, że kąt jest w położeniu standardowym, jeśli kąt został umieszczony tak w układzie współrzędnych, że jego ramię początkowe pokrywa się z dodatnią osią OX.

Przykład 2.

Kąt $α$ znajduje się w położeniu standardowym. Końcowe ramię przechodzi przez punkt $P ( - 3,4)$ . Wyznaczmy $sinα$ , $cosα$ , $t g α$ , $c t g α$ .

$sinalpha={4 over sqrt{(-3)^2+4^2}}={4 over sqrt{25}}={4 over 5}$
$cosalpha={-3 over sqrt{(-3)^2+4^2}}={-3 over sqrt{25}}=-{3 over 5}$
$tg alpha={4 over -3}=-{4 over 3}$
$ctg alpha={-3 over 4}=-{3 over 4}$

Przykład 3.

Kąt $α$ znajduje się w położeniu standardowym. Końcowe ramię przechodzi przez punkt $P ( - 2, - 4)$ . Obliczmy $sinα$ , $cosα$ , $t g α$ , $c t g α$ .

$sinalpha={-4 over sqrt{(-2)^2+(-4)^2}}=-{2 sqrt{5} over 5}$
$cosalpha={-2 over sqrt{(-2)^2+(-4)^2}}=-{sqrt{5} over 5}$
$tg alpha={-4 over -2}=2$
$ctg alpha={-2 over -4}={1 over 2}$